Giải bài 6.9 trang 16 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Xác định parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + 1\) , trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua 2 điểm A(1; 0) và B(2; 4).

b) Đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng \(x = 1\).

c) Có đỉnh I(1; 2).

d) Đi qua điểm C(-1; 1) và có tung độ đỉnh -0,25.

Lời giải chi tiết

a) Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm A(1; 0) nên:

\(a{.1^2} + b.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b = - 1\).

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm B(2; 4) nên:

\(a{.2^2} + 2b + 1 = 4 \Leftrightarrow 4a + 2b = 3\).

Từ 2 phương trình trên, ta có \(a = \frac{5}{2};b = \frac{{ - 7}}{2}\).

=> Hàm số cần tìm là \(y = \frac{5}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 1\).

b) Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm A(1; 0) nên:

\(a{.1^2} + b.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b = - 1\).

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) có trục đối xứng x = 1.

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow - b = 2a \Leftrightarrow 2a + b = 0\).

Từ 2 phương trình trên, ta có \(a = 1;b = - 2\).

=> Hàm số cần tìm là \(y = {x^2} - 2x + 1\).

c) Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) có đỉnh \(I(1;2)\) nên:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow - b = 2a \Leftrightarrow 2a + b = 0\).

\(a{.1^2} + b.1 + 1 = 2 \Leftrightarrow a + b = 1\).

Từ 2 phương trình trên, ta có \(a = - 1;b = 2\).

=> Hàm số cần tìm là \(y = - {x^2} + 2x + 1\).

d) Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm C(-1; 1) nên:

\(a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + 1 = 1 \Leftrightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b\).

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) có tung độ đỉnh là -0,25 nên:

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = - 0,25 \Leftrightarrow - \frac{{{b^2} - 4.a.1}}{{4a}} = - 0,25 \Leftrightarrow {b^2} - 4a = a \Leftrightarrow {b^2} = 5a\).

Thay a = b ta có:

\({b^2} = 5b \Leftrightarrow b=0\) hoặc \(b=5\).

Vì \(a \ne 0\) nên \(a=b=5\).

=> Hàm số cần tìm là \(y = 5{x^2} + 5x + 1\).