Bài 6.31 trang 190 SBT đại số 10

Đề bài

Cho \(\sin \alpha = \dfrac{8}{{17}},\sin \beta = \dfrac{{15}}{{17}}\)với \(0 < \alpha < \dfrac{\pi }{3},0 < \beta < \dfrac{\pi }{2}\). Chứng minh rằng \(\alpha + \beta = \dfrac{\pi }{2}\)

Lời giải chi tiết

Từ giải thiết suy ra \(\cos \alpha >0, \cos \beta >0\). Ta có:

\(\cos \alpha = \sqrt {1 - \dfrac{{64}}{{289}}} = \sqrt {\dfrac{{225}}{{289}}} = \dfrac{{15}}{{17}};\) \(\cos \beta = \sqrt {1 - \dfrac{{225}}{{289}}} = \sqrt {\dfrac{{64}}{{289}}} = \dfrac{8}{{17}}\).

Do đó

\(\sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)

=\(\dfrac{8}{{17}}.\dfrac{8}{{17}} + \dfrac{{15}}{{17}}.\dfrac{{15}}{{17}} = \dfrac{{289}}{{289}} = 1\).

Vì \(0 < \alpha < \dfrac{\pi }{2},0 < \beta < \dfrac{\pi }{2}\)nên từ đó suy ra \(\alpha + \beta = \dfrac{\pi }{2}\).

xemloigiai.com