Bài 59 trang 136 Vở bài tập toán 8 tập 1Giải bài 59 trang 136 vở bài tập toán 8 tập 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA... Đề bài Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E, F, G, H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, BC, CD, DA.\) Các đường chéo \(AC, BD\) của tứ giác \(ABCD\) có điều kiện gì thì \(EFGH\) là: a) Hình chữ nhật? b) Hình thoi? c) Hình vuông? Phương pháp giải - Xem chi tiết Áp dụng: - Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. - Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. - Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. - Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. - Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi. Lời giải chi tiết
Trước hết ta chứng minh \(EF//GH//AC,\,EH//FG//BD,\) \(EF=HG= \dfrac{1}{2}AC,\) \(EH=FG=\dfrac{1}{2}BD\) Thật vậy: \(\Delta ABC\) có \(EB = EA, FB = FC\) Suy ra \(EF //AC, EF = \dfrac{1}{2} AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác) \(\Delta ADC\) có \(HD = HA, GD = GC\) Suy ra \(HG // AC, HG = \dfrac{1}{2}AC\) Do đó \(EF //HG//AC\). Chứng minh tương tự ta có \(EH//FG//BD\). Ta có: \( EF = \dfrac{1}{2} AC\) (chứng minh trên) \(HG = \dfrac{1}{2}AC\) (chứng minh trên) Do đó \(EF=HG= \dfrac{1}{2}AC\). Chứng minh tương tự \(EH=FG=\dfrac{1}{2}BD\). a) Theo chứng minh trên, \(EFGH\) là hình bình hành có \(EF//AC; EH//BD\). Do đó: Hình bình hành \(EFGH\) là hình chữ nhật \(⇔EF ⊥ EH⇔ AC ⊥ BD\) b) Theo chứng minh trên, \(EFGH\) là hình bình hành có \(EF = \dfrac{1}{2}AC,EH = \dfrac{1}{2}BD\). Do đó: Theo dấu hiệu nhận biết hình thoi thì Hình bình hành \(EFGH\) là hình thoi \(⇔ EF = EH⇔AC = BD\) c) \(EFGH\) là hình vuông \(⇔\) \(EFGH\) vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi. \(\Rightarrow AC ⊥ BD\) và \(AC = BD\). Giải thích: \(EH//FG//BD\) và \(EH=FG=\dfrac{1}{2}BD\). \(EB = EA, AH = HD\) (gt) Do đó \(EH\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\). Suy ra \(EH //BD, EH = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) \(CF = FB, GD = GC\) (gt) Do đó \(FG\) là đường trung bình của tam giác \(BDC\). Suy ra \(FG // BD, FG = \dfrac{1}{2} BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) xemloigiai.com
|