Giải bài 5 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Xét khai triển \({\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^{12}}\)

a) Xác định hệ số của \({x^7}\)

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 12\)

Lời giải chi tiết

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\({\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^{12}} = C_{12}^0{x^{12}} + C_{12}^1{x^{11}}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^1} + ... + C_{12}^k{x^{12 - k}}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^k} + ... + C_{12}^{12}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{12}}\)

Số hạng chứa \({x^7}\) ứng với \(12 - k = 7 \Rightarrow k = 5\). Do đó hệ số của \({x^7}\) là

\(C_{12}^5{\left( {\frac{5}{2}} \right)^5}\)

b) Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^{12}}\) là \(C_{12}^{12 - k}{(x)^k}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{12 - k}}\)

Như vậy, hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 12\) là \(C_{12}^{12 - k}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{12 - k}}\)