Giải bài 5 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), ta có:

a) \({13^n} - 1\) chia hết cho 6.

b) \({4^n} + 15n - 1\) chia hết cho 9.

Lời giải chi tiết

a)

Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({13^1} - 1 = 12\) chia hết cho 6.

Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\).

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k + 1, tức là:

\({13^{k + 1}} - 1\) chia hết cho 6.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\({13^k} - 1\) chia hết cho 6.

Cần chứng minh mệnh đề trên đúng với k + 1. Ta có:

\({13^{k + 1}} - 1 = {13.13^k} - 1 = 13.\underbrace {\left( {{{13}^k} - 1} \right)}_{ \vdots 6} + \underbrace {12}_{ \vdots 6}\) chia hết cho 6.

Vậy mệnh đề đúng với k + 1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).

b)

Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({4^1} + 15.1 - 1 = 18\) chia hết cho 9.

Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\).

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k + 1, tức là:

\({4^{k + 1}} + 15.(k + 1) - 1\) chia hết cho 9.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\({4^k} + 15k - 1\) chia hết cho 9.

Cần chứng minh mệnh đề trên đúng với k + 1. Ta có:

\({4^{k + 1}} + 15.(k + 1) - 1 = {4.4^k} + 15k + 14 = 4\underbrace {\left( {{4^k} + 15k - 1} \right)}_{ \vdots 9} - \underbrace {45k}_{ \vdots 9} + \underbrace {18}_{ \vdots 9}\) chia hết cho 9.

Vậy mệnh đề đúng với k + 1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).