Giải bài 5 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diềuChứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có: Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Cánh diều Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh Đề bài Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có: a) \({13^n} - 1\) chia hết cho 6. b) \({4^n} + 15n - 1\) chia hết cho 9. Phương pháp giải - Xem chi tiết Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\) Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận. Lời giải chi tiết a) Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({13^1} - 1 = 12\) chia hết cho 6. Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\) Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là: \({13^{k + 1}} - 1\) chia hết cho 6. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: \({13^k} - 1\) chia hết cho 6. Suy ra \({13^{k + 1}} - 1 = {13.13^k} - 1 = 13.\left( {{{13}^k} - 1} \right) + 12\) chia hết cho 6 Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\). b) Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({4^1} + 15.1 - 1 = 18\) chia hết cho 9. Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\) Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là: \({4^{k + 1}} + 15.(k + 1) - 1\) chia hết cho 9. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: \({4^k} + 15k - 1\) chia hết cho 9. Suy ra \({4^{k + 1}} + 15.(k + 1) - 1 = {4.4^k} + 15k + 14 = 4\left( {{4^k} + 15k - 1} \right) - 45k + 18\) chia hết cho 9 Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí
|
