Giải bài 49 trang 56 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:

A. \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\)

B. \({u_n} = \frac{3}{n}\)

C. \({u_n} = {2^n}\)

D. \({u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta thấy \({u_n} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{2}{{{3^{n + 1}}}}:\frac{2}{{{3^n}}} = \frac{2}{{{3^n}.3}}.\frac{{{3^n}}}{2} = \frac{1}{3}\).

Do \(T < 1\), dãy số đã cho không là dãy số tăng.

b) Ta thấy \({u_n} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{3}{{n + 1}}:\frac{3}{n} = \frac{3}{{n + 1}}.\frac{n}{3} = \frac{n}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\).

Do \(T = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1\), dãy số đã cho không là dãy số tăng.

c) Ta thấy \({u_n} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2\).

Do \(T > 1\), dãy số đã cho là dãy số tăng.

d) Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 2} \right)^{n + 1}} - {\left( { - 2} \right)^n} = {\left( { - 2} \right)^n}\left[ {\left( { - 2} \right) - 1} \right] = \left( { - 3} \right).{\left( { - 2} \right)^n}\)

Do với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta không thể xác định được dấu của \({\left( { - 2} \right)^n}\), do đó ta không thể kết luận được \(H < 0\) hay \(H > 0\).

Do đó dãy số đã cho không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

Đáp án đúng là C.