Bài 4.4 phần bài tập bổ sung trang 67 SBT toán 9 tập 1

LG a

Tìm giá trị của $k$ để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2\sqrt 3$.

Phương pháp giải:

Gọi d là đồ thị của hàm số $y = ax + b$ $(a \ne 0)$, d cắt trục hoành tại $B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)$ và cắt trục tung tại $A\left( {0;b} \right)$.

Điểm $M({x_0};{y_0})$ thuộc d khi và chỉ khi $y_0 = ax_0 + b$.

Lời giải chi tiết:

Để biểu thức ở vế phải xác định thì $k \ge 0$. 

Để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2\sqrt 3$ thì:

$\begin{array}{l} \sqrt k + \sqrt 3 = 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sqrt k = \sqrt 3 \Leftrightarrow k = 3 \end{array}$

LG b

Tìm giá trị của $k$ để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $1.$

Phương pháp giải:

Gọi d là đồ thị của hàm số $y = ax + b$ $(a \ne 0)$, d cắt trục hoành tại $B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)$ và cắt trục tung tại $A\left( {0;b} \right)$.

Điểm $M({x_0};{y_0})$ thuộc d khi và chỉ khi $y_0 = ax_0 + b$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $1$ thì tung độ giao điểm bằng $0$. Ta có:

$\dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}.1 + \sqrt k + \sqrt 3 = 0$
$\Leftrightarrow \sqrt k + 1$$+ (\sqrt 3 - 1)\left( {\sqrt k + \sqrt 3 } \right) = 0$
$\Leftrightarrow \sqrt k + 1$$+ \sqrt 3 \sqrt k + \sqrt 3 .\sqrt 3 - \sqrt k - \sqrt 3 = 0$
$\Leftrightarrow \sqrt 3 .\sqrt k + 4 - \sqrt 3 = 0$
$\Rightarrow \sqrt k = \dfrac{{\sqrt 3 - 4}}{{\sqrt 3 }}$ mà $\dfrac{{\sqrt 3 - 4}}{{\sqrt 3 }}<0$ nên không có giá trị $k$ thỏa mãn. 

Vậy đường thẳng (d) không cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 với mọi giá trị của $k \ge 0$.

LG c

Chứng minh rằng, với mọi giá trị $k \ge 0$, các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ của điểm cố định đó. 

Phương pháp giải:

Điểm $M({x_0};{y_0})$ thuộc đồ thị $y = ax + b$ khi và chỉ khi $y_0 = ax_0 + b$.

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm cố định mà các đường thẳng (d) đều đi qua là $P({x_0};{y_0})$.

Ta có:

${y_0} = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}{x_0} + \sqrt k + \sqrt 3$
$\Leftrightarrow {y_0}(\sqrt 3 - 1)$$= \left( {\sqrt k + 1} \right){x_0} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt k + \sqrt 3 } \right)$
$\Leftrightarrow {y_0}(\sqrt 3 - 1)$$= \left( {{x_0} + \sqrt 3 - 1} \right)\sqrt k + {x_0} + 3 - \sqrt 3$
$\Leftrightarrow \left( {{x_0} + \sqrt 3 - 1} \right)\sqrt k$$+ {x_0} + 3 - \sqrt 3 + {y_0}(1 - \sqrt 3 ) = 0 (*)$

Phương trình (*) nghiệm đúng với mọi giá trị không âm của $\sqrt k$, do đó ta có:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x_0} + \sqrt 3 - 1 = 0\\ {x_0} + 3 + \sqrt 3 + \left( {1 - \sqrt 3 } \right){y_0} = 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 1 - \sqrt 3 \\ {y_0} = \sqrt 3 - 1. \end{array} \right. \end{array}$

Vậy, với $k \ge 0$, các đường thẳng (d) đều đi qua điểm cố định $P(1 - \sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1).$

xemloigiai.com