Bài 42 trang 40 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết

$M = \left( {\dfrac{1}{{a - \sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}$ với $a > 0$ và $a \ne 1$

Lời giải chi tiết

Với điều kiện $a > 0$ và $a \ne 1$, ta rút gọn M như sau :

$M = \left( {\dfrac{1}{{a - \sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}$

$= \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}$

$= \dfrac{{1 + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} \cdot \dfrac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a + 1}}$

$= \dfrac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a }} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt a }}$

Vậy $M = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt a }}$

Ta có : $\dfrac{1}{{\sqrt a }} > 0$ (vì $a > 0$ ) nên $1 - \dfrac{1}{{\sqrt a }} < 1$

Vậy $M < 1$ .

xemloigiai.com