Giải bài 41 trang 22 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt {1 + \sin 3x}$

b) $y = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 - \cos x} }}$

c) $y = \frac{{\sqrt {1 + \cos 2x} }}{{\sin x}}$

d) $y = \frac{1}{{\sin x + \cos x}}$

e) $y = \frac{1}{{1 + \sin x\cos x}}$

g) $y = \sqrt {\cos x - 1}$

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a) Hàm số xác định khi $1 + \sin 3x \ge 0$.

Với $\forall x \in \mathbb{R}$, ta thấy $\sin 3x \ge - 1 \Leftrightarrow 1 + \sin 3x \ge 0$.

Do đó, tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.

b) Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}1 - \cos x \ge 0\\\sqrt {1 - \cos x} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 - \cos x > 0$.

Ta thấy với $\forall x \in \mathbb{R}$, $\cos x \le 1 \Leftrightarrow - \cos x \ge - 1 \Leftrightarrow 1 - \cos x \ge 0$, nên điều kiện xác định của hàm số sẽ tương đương với $1 - \cos x \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do đó, tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

c) Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}1 + \cos 2x \ge 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x \ne 0$.

Ta có $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do đó, tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

d) Hàm số xác định khi: $\sin x + \cos x \ne 0$.

Ta có $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{4}\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right)$

Do đó, điều kiện xác định của hàm số tương đương với:

 $\frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{4} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Do đó, tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$

e) Hàm số xác định khi $1 + \sin x\cos x \ge 0$

Ta thấy với $\forall x \in \mathbb{R}$ thì $\sin 2x = 2\sin x\cos x \Leftrightarrow \sin x\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2}$.

Do $\sin 2x \ge - 1 \Rightarrow \frac{{\sin 2x}}{2} \ge \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow 1 + \frac{{\sin 2x}}{2} \ge 1 + \frac{{ - 1}}{2} = \frac{1}{2} > 0$

Từ đó suy ra $1 + \sin x\cos x > 0$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.

f) Hàm số xác định khi $\cos x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \cos x \ge 1$.

Do $\cos x \le 1$ với $\forall x \in \mathbb{R}$, nên điều kiện xác định tương đương với $\cos x = 1$.

$\Leftrightarrow x = k2\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.