Bài 28 trang 9 SBT toán 9 tập 1

LG câu a

$\sqrt 2 + \sqrt 3$ và $\sqrt {10}$;

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: Với $a > 0,b > 0$ và ${a^2} < {b^2}$ thì $a < b$

Để chứng minh $a < b$ ( với $a > 0,b > 0$) ta chứng minh ${a^2} < {b^2}$.

Chú ý: ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ ( với $A > 0$).

Áp dụng hằng đẳng thức:

${(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$

Lời giải chi tiết:

$\sqrt 2 + \sqrt 3$ và $\sqrt {10}$

Ta có:

$\eqalign{ & {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2\sqrt 6 + 3 \cr  & = 5 + 2\sqrt 6 \cr}$

Và ${\left( {\sqrt {10} } \right)^2} = 10 = 5 + 5$

So sánh $2\sqrt 6$ và $5$:

Ta có: ${\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = {2^2}.{\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 4.6 = 24$

${5^2} = 25$

Vì $24<25$$\Rightarrow {\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} < {5^2}$

$\Rightarrow 2\sqrt 6 < 5$

$\eqalign{ & \Rightarrow 5 + 2\sqrt 6 < 5 + 5 \cr  & \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} < {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} \cr  & \Rightarrow \sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt {10} \cr}$

LG câu b

$\sqrt 3 + 2$ và $\sqrt 2 + \sqrt 6$;

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: Với $a > 0,b > 0$ và ${a^2} < {b^2}$ thì $a < b$

Để chứng minh $a < b$ ( với $a > 0,b > 0$) ta chứng minh ${a^2} < {b^2}$.

Chú ý: ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ ( với $A > 0$).

Áp dụng hằng đẳng thức:

${(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$

Lời giải chi tiết:

$\sqrt 3 + 2$ và $\sqrt 2 + \sqrt 6$

Ta có:

${\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2}$$= 3 + 4\sqrt 3 + 4 = 7 + 4\sqrt 3$

$\eqalign{ & {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)^2} = 2 + 2\sqrt {12} + 6 \cr  & = 8 + 2\sqrt {4.3} = 8 + 2.\sqrt 4 .\sqrt 3\cr &= 8 + 4\sqrt 3 \cr}$

Vì $7 + 4\sqrt 3 < 8 + 4\sqrt 3$ nên ${\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2} < {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)^2}$

Vậy $\sqrt 3 + 2$ < $\sqrt 2 + \sqrt 6$

LG câu c

16 và $\sqrt {15} .\sqrt {17}$;

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: Với $a > 0,b > 0$ và ${a^2} < {b^2}$ thì $a < b$

Để chứng minh $a < b$ ( với $a > 0,b > 0$) ta chứng minh ${a^2} < {b^2}$.

Chú ý: ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ ( với $A > 0$).

Lời giải chi tiết:

$16$ và $\sqrt {15} .\sqrt {17}$ 

Ta có:

$\eqalign{ & \sqrt {15} .\sqrt {17} = \sqrt {16 - 1} .\sqrt {16 + 1} \cr  & = \sqrt {(16 - 1)(16 + 1)} = \sqrt {{{16}^2} - 1} \cr}$

Và $16 = \sqrt {{{16}^2}}$

Vì $\sqrt {{{16}^2} - 1} < \sqrt {{{16}^2}}$ nên $16 > \sqrt {15} .\sqrt {17}$

Vậy $16 > \sqrt {15} .\sqrt {17}$.

LG câu d

8 và $\sqrt {15} + \sqrt {17}$. 

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: Với $a > 0,b > 0$ và ${a^2} < {b^2}$ thì $a < b$

Để chứng minh $a < b$ ( với $a > 0,b > 0$) ta chứng minh ${a^2} < {b^2}$.

Chú ý: ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ ( với $A > 0$).

Áp dụng hằng đẳng thức:

${(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$

Lời giải chi tiết:

$8$ và $\sqrt {15} + \sqrt {17}$

Ta có: 

$\eqalign{ & {\left( {\sqrt {15} + \sqrt {17} } \right)^2} = 15 + 2\sqrt {15.17} + 17 \cr  & = 32 + 2\sqrt {15.17} \cr}$

Và ${8^2} = 64 = 32 + 32$

So sánh $16$ và $\sqrt {15.17}$

Ta có: 

$\eqalign{ & \sqrt {15.17} = \sqrt {(16 - 1)(16 + 1)} \cr  & = \sqrt {{{16}^2} - 1} < \sqrt {{{16}^2}} \cr}$

Hay $16 > \sqrt {15.17}$

Vì $16 > \sqrt {15.17}$ nên $32 > 2\sqrt {15.17}$

Suy ra:

$\eqalign{ & 64 > 32 + 2.\sqrt {15.17} \cr  & \Rightarrow {8^2} > {\left( {\sqrt {15} + \sqrt {17} } \right)^2} \cr}$

Vậy $8 > \sqrt {15} + \sqrt {17}$. 

xemloigiai.com