Bài 26 trang 103 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Cho $AB$ và $CD$ là hai đường kính vuông góc của đường tròn $(O)$. Trên cung nhỏ $BD$ lấy một điểm $M$. Tiếp tuyến tại $M$ cắt tia $AB$ ở $E$, đoạn thẳng $CM$ cắt $AB$ ở $S$. Chứng minh $SE = EM$.

Lời giải chi tiết

Vì $AB \bot CD$ tại $O$ nên ta có $\overparen{AC}=\overparen{CB}$ $=\overparen{AD} = \overparen{BD}$

- Góc $CSA$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn 

Do đó, $\widehat {CSA} = \dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{AC}+$ sđ$\overparen{BM}$) (1)

- Góc $CME$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Do đó, $\widehat {CME} = \dfrac{1}{2}$ sđ$\overparen{CM} = \dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{CB}+$ sđ$\overparen{BM}$) (2)

Theo giả thiết $\overparen{AC}=\overparen{CB}$ $=\overparen{AD} = \overparen{BD}$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {CSA} = \widehat {CME}$

Mà  $\widehat{CSA} = \widehat{ESM}$ vì hai góc đối đỉnh $\Rightarrow \widehat{ESM}= \widehat {CME}$

Vậy $\Delta MES$ là tam giác cân tại $E$ nên $ES = EM.$

xemloigiai.com