Giải bài 2.23 trang 39 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho một cấp số nhân với tất cả các số hạng đều dương. Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là 125 và số hạng thứ 10 là \(\frac{{125}}{6}\). Tìm số hạng thứ 14 của cấp số nhân này.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Giả sử rằng các số hạng của cấp số nhân đều là số dương.

Theo giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 125\\{u_{10}} = \frac{{125}}{{64}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} = 125\\{u_1}.{q^9} = \frac{{125}}{{64}}\end{array} \right.\)

Chia vế theo vế của hai phương trình ta có: \({q^6} = \frac{1}{{64}} \Leftrightarrow q = \pm \frac{1}{2}\)

Với \(q = \frac{1}{2}\) ta có \({u_1} = 1000 \Rightarrow {u_{14}} = {u_1}.{q^{13}} = \frac{{125}}{{1\;024}}\)

Với \(q = - \frac{1}{2}\) ta có \({u_1} = - 1000\) (loại)

Vậy \({u_{14}} = \frac{{125}}{{1\;024}}\)