Giải bài 2 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\):

a) \({3^n} - 1 - 2n\) chia hết cho 4.

b) \({7^n} - {4^n} - {3^n}\) chia hết cho 12.

Lời giải chi tiết

a) Với \(n = 1\) ta có \({3^1} - 1 - 2 = 0 \vdots 4\).

Vậy khẳng định đúng với \(n = 1\).

Giải sử khẳng định đúng với \(n = k\) tức là ta có \({3^k} - 1 - 2k\) chia hết cho 4.

Ta chứng minh khẳng định đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({3^{k + 1}} - 1 - 2(k + 1)\) chia hết cho 4.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

\({3^{k + 1}} - 1 - 2(k + 1) = {3^{k + 1}} - 3 - 2k = 3.\underbrace {\left( {{3^k} - 1 - 2k} \right)}_{ \vdots 4} + 4k\) chia hết cho 4.

Vậy khẳng định đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

b) Với \(n = 1\) ta có \({7^1} - {4^1} - {3^1} = 0 \vdots 12\).

Vậy khẳng định đúng với \(n = 1\).

Giải sử khẳng định đúng với \(n = k\) tức là ta có \({7^k} - {4^k} - {3^k}\) chia hết cho 12.

Ta chứng minh khẳng định đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({7^{k + 1}} - {4^{k + 1}} - {3^{k + 1}}\) chia hết cho 12.

Sử dụng giả thiết quy nạp, lưu ý \(k \ge 1\), ta có:

\({7^{k + 1}} - {4^{k + 1}} - {3^{k + 1}} = {7.7^k} - {4.4^k} - {3.3^k} = 7\underbrace {\left( {{7^k} - {4^k} - {3^k}} \right)}_{ \vdots 12} + \underbrace {{{3.4}^k}}_{ \vdots 12} + \underbrace {{{4.3}^k}}_{ \vdots 12}\) chia hết cho 12.

Vậy khẳng định đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).