Bài 1.52 trang 23 SBT hình học 12Giải bài 1.52 trang 23 sách bài tập hình học 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ A... Đề bài Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Thể tích của hình chóp bằng: A. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}\) B. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{9}\) C. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{8}\) D. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}\) Phương pháp giải - Xem chi tiết - Sử dụng tính chất \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\), từ đó xác định khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {SBC} \right)\). - Tính chiều cao và diện tích đáy hình chóp. - Tính thể tích theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\). Lời giải chi tiết
Gọi \(O\) là tâm đáy, \(E\) là trung điểm của \(BC\) và \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SE\). Dễ thấy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\) (vì \(AC = 2OC\)) nên \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\). Lại có \(BC \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow BC \bot OH\), mà \(OH \bot SE\) nên \(OH \bot \left( {SBC} \right)\). Do đó \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\). Tam giác \(SOE\) vuông tại \(O\) có \(OE = \dfrac{a}{2},OH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\) nên: \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{E^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}}\) \( \Rightarrow SO = \dfrac{{OE.OH}}{{\sqrt {O{E^2} - O{H^2}} }}\) \( = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{6{a^2}}}{{36}}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\). Chọn D. xemloigiai.com
|