Bài 102 trang 22 SBT toán 9 tập 1

Chứng minh rằng \(A \ge 1\) và \(B \ge \sqrt 5 \);

Phương pháp giải:

Để \(\sqrt A \) có nghĩa thì \(A \ge 0\) 

Với \(A \ge 0;B \ge 0\) thì \(A \ge B \Leftrightarrow \sqrt A \ge \sqrt B \)

Lời giải chi tiết:

\(A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \) xác định khi và chỉ khi:

\(\left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr 
x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr 
x \ge -1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \,x \ge 0\)

\(B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} \) xác định khi và chỉ khi:

\(\left\{ \matrix{
x + 4 \ge 0 \hfill \cr 
x - 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 4 \hfill \cr 
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\) 

a) Với \(x \ge 0\) ta có: \(x + 1 \ge 1 \Rightarrow \sqrt {x + 1} \ge 1\)

Suy ra: \(A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 1\)

Với \(x \ge 1\) ta có:

\(x + 4 \ge 1 + 4 \Leftrightarrow x + 4 \ge 5\)\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 4} \ge \sqrt 5 \)

Suy ra: \(B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} \ge \sqrt 5 \)

Tìm \(x\), biết:

\(\sqrt x + \sqrt {x + 1} = 1\);

\(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} = 2\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả câu a) để làm bài. 

Lời giải chi tiết:

+) \(\sqrt x + \sqrt {x + 1} = 1\)

Điều kiện : \(x \ge 0\)

Ta có: \(\sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 1\) (theo câu a)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\sqrt x = 0\) và \(\sqrt {x + 1} = 1\)

Suy ra: \(x = 0\)

+) \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} = 2\,(*)\)

Ta có: \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} \ge \sqrt 5 \) (theo câu a)

Mà: \(\sqrt 5 > \sqrt 4 \Leftrightarrow \sqrt 5 > 2\)

Hay \(VP(*)>VT(*)\)

Vậy không có giá trị nào của \(x\) để \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} = 2\) . 

xemloigiai.com