Bài 101 trang 22 SBT toán 9 tập 1

Chứng minh: 

\(x - 4\sqrt {x - 4} = {\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)^2};\)

Phương pháp giải:

Phân tích biểu thức thành hằng đẳng thức:

\({a^2} \pm 2ab + {b^2} = {(a \pm b)^2}\)

Áp dụng \(A=\sqrt {{A^2}} \) với \(A\ge 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(VT=x - 4\sqrt {x - 4} \)

\(= \left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4} + 4\)

\( = {\left( {\sqrt {x - 4} } \right)^2} - 2.2\sqrt {x - 4} + {2^2} \)

\(= {\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)^2}=VP\)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

(Chú ý: VT: Vế trái, VP: Vế phải) 

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:

\(A=\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } .\) 

Phương pháp giải:

Phân tích biểu thức thành hằng đẳng thức:

\({a^2} \pm 2ab + {b^2} = {(a \pm b)^2}\)

Áp dụng \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

Với \(A \ge 0\) suy ra \(\left| A \right| = A\) 

Với \(A < 0\) suy ra \(\left| A \right| =- A\) 

Lời giải chi tiết:

\(A\) xác định khi: \(x - 4 \ge 0\) và \(x - 4\sqrt {x - 4} \ge 0\)

Ta có \(x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\), khi đó:

\(\eqalign{
& x - 4\sqrt {x - 4} = \left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4} + 4 \cr 
& = {\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)^2} \ge 0\text{( luôn đúng )} \cr} \)

Vậy với \(x \ge 4\) thì \(A\) xác định. 

Ta có: 

\(\eqalign{
& x + 4\sqrt {x - 4} = \left( {x - 4} \right) +2.2\sqrt {x - 4} + 4 \cr 
& = {\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)^2} \cr} \)

Suy ra:

\(A = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } \)\(+ \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } \)

\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)}^2}} \)\(+ \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)}^2}} \)

\( = \left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| \)\(+ \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\)

\( = \sqrt {x - 4} + 2 + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\)

+) Nếu 

\(\eqalign{
& \sqrt {x - 4} - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} \ge 2 \cr 
& \Leftrightarrow x - 4 \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 8 \cr} \)

thì: \(\left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right| = \sqrt {x - 4} - 2\)

Ta có: \(A = \sqrt {x - 4} + 2 + \sqrt {x - 4} - 2 \)\(= 2\sqrt {x - 4} \) 

+) Nếu:

\(\eqalign{
& \sqrt {x - 4} - 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} < 2 \cr 
& \Leftrightarrow x - 4 < 4 \Leftrightarrow x < 8 \cr} \)

Suy ra \(4\le x<8\)

Do đó, \(\left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right| \)\(= 2 - \sqrt {x - 4} \)

Ta có: \(A = \sqrt {x - 4} + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} = 4\)

Vậy với \(x\ge 8\) thì \(A = 2\sqrt {x - 4} \) 

Với \(4\le x<8\) thì \(A=4.\)

xemloigiai.com