Giải bài 1 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Cho ${S_n} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}$ và ${T_n} = {2^{n + 1}} - 1$, với $n \in \mathbb{N}*$

a) So sánh ${S_1}$ và ${T_1}$; ${S_2}$ và ${T_2}$;${S_3}$ và ${T_3}$.

b) Dự đoán công thức tính ${S_n}$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a) ${S_1} = 1 + 2 = 3$; ${T_1} = {2^{1 + 1}} - 1 = 3$

Do đó ${S_1} = {T_1}$

${S_2} = 1 + 2 + {2^2} = 7$; ${T_2} = {2^{2 + 1}} - 1 = 7$

Do đó ${S_2} = {T_2}$

${S_3} = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} = 15$; ${T_3} = {2^{3 + 1}} - 1 = 15$

Do đó ${S_3} = {T_3}$

b) Dự doán: ${S_n} = {T_n}$ từ đó có công thức tính ${S_n} = {2^{n + 1}} - 1$

Chứng minh:

Bước 1: Khi $n = 1$ ta có ${S_1} = {T_1} = {2^2} - 1$ đúng

Như vậy đẳng thức đúng với $n = 1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

${S_{k + 1}} = {2^{(k + 1) + 1}} - 1$ hay ${S_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 1$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${S_k} = {2^{k + 1}} - 1$

Suy ra

$\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{k + 1}} = {S_k} + {2^{k + 1}}\\ = {2^{k + 1}} - 1 + {2^{k + 1}} = {2.2^{k + 1}} - 1 = {2^{k + 2}} - 1\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.