Đề thi vào 10 môn Toán Yên Bái năm 2023

Đề bài

Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất?

A. $y = \frac{1}{{{x^2}}} + 3$.

B. $y = 3{x^2} - 2$.

C. $y = 3x + 2$.

D. $y = 3{x^2} - 1$.

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại $A$, đường cao $AH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in BC} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $A{H^2} = BH.CH$.

B. $A{H^2} = B{H^2}.C{H^2}$.

C. $AH = \frac{{BH}}{{CH}}$.

D. $AH = BH.CH$.

Câu 3: Tứ giác ABCD có số đo $\angle A = 80^\circ ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle B = 110^\circ ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle C = 100^\circ$. Số đo $\angle D$ bằng:

A. $100^\circ$.

B. $80^\circ$.

C. $110^\circ$.

D. $70^\circ$.

Câu 4: Hai đường tròn phân biệt có số điểm chung nhiều nhất là

A. 1.

B. 0.

C. Vô số.

D. 2.

Câu 5: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?

A. $2x - 3 = 0$.

B. ${x^4} - 2{x^2} = 0$.

C. ${x^3} + 3 = 0$.

D. ${x^2} - 2x - 3 = 0$.

Câu 6: Giá trị của $\sin 30^\circ$ bằng

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

C. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

D. $1$.

Câu 7: Cặp số $\left( {1;2} \right)$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. $3x - 2y = 7$.

B. $3x + 2y = 8$.

C. $3x + 2y = 7$.

D. $3x - 2y = 8$.

Câu 8: Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là ${S_{xq}} = 2\pi rh$. Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy $r = 2$, chiều cao $h = 3$ là:

A. ${S_{xq}} = 24\pi$(đvdt)

B. ${S_{xq}} = 12\pi$(đvdt)

C. ${S_{xq}} = 6\pi$(đvdt)

D. ${S_{xq}} = 48\pi$(đvdt)

Câu 9: Đường thẳng $y = 2x - 1$ đi qua điểm nào sau đây?

A. $Q\left( {1; - 1} \right)$.

B. $M\left( { - 1; - 3} \right)$.

C. $N\left( {1;3} \right)$.

D. $P\left( { - 3; - 5} \right)$.

Câu 10: Tập nghiệm của phương trình ${x^2} - 4x + 3 = 0$ là:

A. $\left\{ {1;3} \right\}$.

B. $\left\{ {1; - 3} \right\}$.

C. $\left\{ { - 1; - 3} \right\}$.

D. $\left\{ { - 1;3} \right\}$.

Câu 11: Ước chung lớn nhất của $6$ và $9$ là:

A. 9.

B. 6.

C. 3.

D. 18.

Câu 12: Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $AB < AC$.

B. $AB \ne AC$.

C. $AB = AC$.

D. $AB > AC$.

Câu 13: Hệ số góc $a$ của đường thẳng $y = 2x + 3$ là

A. $a = \frac{1}{2}$.

B. $a = 2$.

C. $a = \frac{1}{3}$.

D. $a = 3$.

Câu 14: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là :

A. góc vuông.

B. góc tù.

C. góc nhọn.

D. góc bẹt.

Câu 15: Giá trị của biểu thức $\sqrt 9 {\rm{ \;}} + 5$ bằng

A. 14.

B. 8.

C. 6.

D. 4.

Câu 16: Điều kiện xác định của $\sqrt {x - 10}$ là

A. $x < 10$.

B. $x < {\rm{ \;}} - 10$.

C. $x \ge 10$.

D. $x \ne 10$.

Câu 17: Cho đường tròn $\left( {O;12cm} \right)$. Dây lớn nhất của đường tròn có độ dài bằng

A.$48cm$.

B.$144cm$.

C.$24cm$.

D.$12cm$.

Câu 18: Kết quả của phép tính ${a^3}.{a^5}$ bằng

A. ${a^7}$.

B. ${a^9}$.

C. ${a^8}$.

D. ${a^{10}}$.

Câu 19: Phân tích đa thức ${x^2} - 5x$ thành nhân tử ta được

A. $x\left( {5 - x} \right)$.

B. ${x^2}\left( {x - 5} \right)$.

C. $x\left( {x + 5} \right)$.

D. $x\left( {x - 5} \right)$.

Câu 20: Trên đường tròn $\left( O \right)$ lấy hai điểm $A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B$ sao cho $\angle AOB = 60^\circ$. Số đo cung nhỏ AB là:

A. $30^\circ$.

B. $90^\circ$.

C. $120^\circ$.

D. $60^\circ$.

Câu 21: Hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y = 5}\\{5x + 4y = 14}\end{array}} \right.$ có nghiệm là

A. $\left( { - 2; - 1} \right)$.

B. $\left( {2;1} \right)$.

C. $\left( {2; - 1} \right)$.

D. $\left( { - 2;1} \right)$.

Câu 22: Hàm số nào sau đây thỏa mãn $f\left( 2 \right) = f\left( { - 2} \right)$?

A. $f\left( x \right) = \frac{{ - x + 1}}{2}$.

B. $f\left( x \right) = \frac{x}{2} + 1$.

C. $f\left( x \right) = {\rm{ \;}} - \frac{x}{2} + 2$.

D. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}$.

Câu 23: Giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \left( {m - 2} \right){x^2}$ đi qua điểm $P\left( {1; - 1} \right)$ là

A. $m = {\rm{ \;}} - 1$.

B. $m = 1$.

C. $m = 3$.

D. $m = {\rm{ \;}} - 3$.

Câu 24: Cho phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$. Tích các nghiệm của phương trình là:

A. $- 2$.

B. $- 3$.

C. $3$.

D. $2$.

Câu 25: Cho đường tròn $\left( {O;15cm} \right)$, dây $AB = 24cm$. Khoảng cách từ $O$ đến dây AB là

A.$8cm$.

B.$9cm$.

C.$12cm$.

D.$10cm$.

Câu 26: Thể tích hình nón có chiều cao $h = 2cm$ và bán kính đáy $r = 3cm$ là

A. $V = 8\pi c{m^3}$.

B. $V = 12\pi c{m^3}$.

C. $V = 6\pi c{m^3}$.

D. $V = 4\pi c{m^3}$.

Câu 27: Cho đường tròn $\left( O \right)$ có diện tích bằng $64\pi c{m^2}$. Chu vi của đường tròn là

A. 8cm

B. $8\pi cm$

C. 16cm

D. $16\pi cm$

Câu 28: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin 25^\circ = \tan 65^\circ$.

B. $\sin 25^\circ = \cos 75^\circ$.

C. $\sin 25^\circ = \cos 65^\circ$.

D. $\sin 25^\circ = \cot 65^\circ$.

Câu 29: Cho $a < 0$. Kết quả rút gọn biểu thức $P = \frac{{\sqrt {{a^2}} }}{2} + \frac{{3a}}{2}$ là

A. 4a.

B. $\frac{{3a}}{2}$.

C. 2a.

D. $a$.

Câu 30: Tích các nghiệm của phương trình $\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0$ là

A. $- 4$.

B. $2$.

C. $4$.

D. $- 2$.

Câu 31: Biết $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$ và $2x - y = 8$. Khi đó giá trị của $y$ là

A. $- 6$.

B. $6$.

C. $- 4$.

D. $4$.

Câu 32: Rút gọn biểu thức $A = 2\sqrt 3 a - \sqrt {48} a$ ta được

A. $A = {\rm{ \;}} - 6\sqrt 3 a$.

B. $A = 2\sqrt 3 a$.

C. $A = {\rm{ \;}} - 2\sqrt 3 a$.

D. $A = 6\sqrt 3 a$.

Câu 33: Trong hình bên, biết $\angle AMO = 30^\circ$. Số đo $\angle MOB$ là

A. $30^\circ$.

B. $45^\circ$.

C. $120^\circ$.

D. $60^\circ$.

Câu 34: Tập hợp $M = \left\{ {n \in \mathbb{N}*|n \vdots 3,n \le 30} \right\}$ có số phần tử là

A. 8.

B. 9.

C. 11.

D. 10.

Câu 35: Xác định hàm số $y = ax + b$, biết đồ thị của hàm số đi qua hai điểm $A\left( { - 2;1} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {1;7} \right)$

A. $y = 2x + 5$.

B. $y = 3x + 7$.

C. $y = 3x + 1$.

D. $y = x + 3$.

Câu 36: Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ và đường thẳng . Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để $\left( P \right)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ sao cho $y_1^2 - y_2^2 = 8\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)$ là

A. $- 4$.

B. $3$.

C. $4$.

D. $- 3$.

Câu 37: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 300m. Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là 50m. Diện tích của sân trường là

A. $300{m^2}$.

B. $5000{m^2}$.

C. $2500{m^2}$.

D. $150{m^2}$.

Câu 38: Một cái cây ở phía sau bức tường cao 8m và cách bức tường 12m. Một người quan sát đứng trước bức tường ở vị trí chỉ nhìn thấy ngọn cây, khi đó góc nhìn so với phương ngang bằng $40^\circ$ (hình vẽ). Chiều cao của cây là (làm tròn đến chữ số thập phân)

A. 17,07m.

B. 18,07m.

C. 19,07m.

D. 16,07m

Câu 39: Cho đường tròn $\left( O \right)$ và dây $AB$, $M$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $AB$. Lấy điểm $C$ thuộc đoạn $AB$, đường thẳng $MC$ cắt $\left( O \right)$ tại $D$ khác $M$, biết độ dài $MC = 9cm,\,\,MD = 16cm$ (tham khảo hình vẽ). Độ dài dây $MA$ là

A.$11cm$.

B.$25cm$.

C.$12cm$.

D.$10cm$.

Câu 40: Tích tất cả các nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 1} {\rm{ \;}} - {x^2} + 1 = 0$ là

A. $- \sqrt 2$.

B. $2$.

C. $\sqrt 2$.

D. $- 2$.

Câu 41: Cho đường tròn $\left( {O;2cm} \right)$. Từ điểm $M$ cách $O$ một khoảng 4cm, kẻ hai tiếp tuyến $MA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} MB$ với ($A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B$ là hai tiếp điểm). Độ dài dây AB là

A. $2\sqrt 2 cm$.

B. $2\sqrt 3 cm$.

C. 3cm.

D. $\sqrt 3 cm$.

Câu 42: Gọi $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3}\\{\frac{1}{{x + y}} - \frac{3}{{x - y}} = 1}\end{array}} \right.$.

Giá trị biểu thức $\frac{2}{7}{x_0} + \frac{2}{3}{y_0}$ là:

A. $1$.

B. $- 1$.

C. $- 3$.

D. $3$.

Câu 43: Cho tam giác ABC cân tại $A$, đường cao $BH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in AC} \right)$. Biết $BH = 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle B = 65^\circ$. Diện tích tam giác $ABC$ là (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

A.$10,44$(đvdt)

B.$10,45$(đvdt)

C.$5,23$(đvdt)

D.$5,22$ (đvdt)

Câu 44: Với giá trị dương nào của tham số $m$ thì khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $d:y = x + m - 1$ bằng $\sqrt 2$?

A. $m = 1$.

B. $m = 2$.

C. $m = 3$.

D. $m = 4$.

Câu 45: Cho phương trình $\left( {{m^2}{x^2} + 4x + 1} \right)\left( {x - 2023} \right) = 0$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt?

A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Câu 46: Cho hai đường thẳng ${d_1}:y = \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}:y = {\rm{ \;}} - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3$. Đường thẳng ${d_1}$ cắt trục hoành tại $A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}$ cắt trục hoành tại $B;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}$ cắt nhau tại $C$. Diện tích tam giác ABC là

A. $2\sqrt 3$ (đvdt)

B. $4\sqrt 3$ (đvdt)

C. $16\sqrt 3$ (đvdt)

D. $8\sqrt 3$ (đvdt)

Câu 47: Cho tam giác ABC cân tại $A$ có $AB = 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M \in AC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N \in AB$ sao $MN\parallel BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{2}{3}$.

Điểm $D \in MN$, đường thẳng BD cắt AC tại $P$, đường thẳng CD cắt AB tại $Q$. Khi đó $\frac{1}{{BQ}} + \frac{1}{{CP}}$ có giá trị là

A. $\frac{{13}}{{20}}$.

B. $\frac{{32}}{{49}}$.

C. $\frac{2}{3}$.

D. $\frac{3}{5}$.

Câu 48: Cho đường thẳng $d:y = \left( {{m^2} + 2m + 3} \right)x - 1$. Gọi $A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với hai trục tọa độ, khi đó diện tích lớn nhất của tam giác OAB là

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{1}{8}$.

C. $\frac{1}{4}$.

D. $\frac{1}{3}$.

Câu 49: Cho phương trình ${x^2} + 2x - m + 5 = 0$. Tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt là:

A. $m < 5$.

B. $m > 4$.

C. $4 < m < 5$.

D. $- 5 < m < 4$.

Câu 50: Phương trình $\frac{9}{{x - \sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} + \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 5}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} - \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} = 2\sqrt x {\rm{ \;}} + 1$ với $x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4$ có nghiệm duy nhất dạng $x = a + b\sqrt 2$ trong đó $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}$. Giá trị biểu thức $2a - b$ là

A. 3

B. 6

C. 4

D. 5

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng $y = ax + b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne 0$

Cách giải:

Ta có: hàm số bậc nhất là $y = 3x + 2$

Chọn C.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác

Cách giải:

Ta có tam giác ABC vuông tại $A$, đường cao $AH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in BC} \right)$

Suy ra $A{H^2} = BH.CH$

Chọn A.

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Tổng các góc trong tứ giác bằng $360^\circ$

Cách giải:

Ta có: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 80^\circ + 110^\circ + 100^\circ + \angle D = 360^\circ }\\{ \Rightarrow \angle D = 360^\circ - 100^\circ - 110^\circ - 80^\circ }\\{ \Rightarrow \angle D = 70^\circ }\end{array}$

Chọn D.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Vị trí tương đối của hai đường tròn: hai đường tròn phân biệt có nhiều nhất 2 điểm chung.

Cách giải:

Hai đường tròn phân biệt có nhiều nhất 2 điểm chung

Chọn D.

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $a{x^2} + bx + c = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne 0$

Cách giải:

Phương trình bậc hai một ẩn là ${x^2} - 2x - 3 = 0$

Chọn D.

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Các góc lượng giác đặc biệt: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Cách giải:

Ta có: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Chọn A.

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Thay lần lượt cặp số $\left( {1;2} \right)$ vào các phương trình

Cách giải:

Thay $x = 1;y = 2$ vào $3x + 2y = 7$ ta được: $3.1 + 2.2 = 7$

Do đó cặp số $\left( {1;2} \right)$ là nghiệm của phương trình $3x + 2y = 7$

Chọn C.

Câu 8 (NB):

Phương pháp:

Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là ${S_{xq}} = 2\pi rh$.

Thay $r,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h$ vào công thức đã cho

Cách giải:

Ta có: ${S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .2.3 = 12\pi$(đvdt)

Chọn B.

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng.

Cách giải:

Thay $x = {\rm{ \;}} - 1;y = {\rm{ \;}} - 3$ vào đường thẳng $y = 2x - 1$ ta được:$- 3 = 2.\left( { - 1} \right) - 1$

Do đó đường thẳng $y = 2x - 1$ đi qua điểm $M\left( { - 1; - 3} \right)$

Chọn B.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Đưa về phương trình tích A.B = 0

Cách giải:

Ta có: ${x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.$

Chọn A.

Câu 11 (NB):

Phương pháp:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các tích thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.

Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Cách giải:

Ta có: $6 = 2.3,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 9 = {3^2}$

Do đó ước chung lớn nhất của $6,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 9$ là 3

Chọn C.

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Tính chất của tam giác cân: Hai cạnh bên bằng nhau.

Cách giải:

Vì tam giác ABC cân tại $A \Rightarrow AB = AC$

Chọn C.

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

Đường thẳng $y = ax + b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)$ có hệ số góc là $a$

Cách giải:

Hệ số góc $a$ của đường thẳng $y = 2x + 3$ là $a = 2$

Chọn B.

Câu 14 (NB):

Phương pháp:

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Cách giải:

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Chọn A.

Câu 15 (NB):

Phương pháp:

Tính giá trị biểu thức.

Cách giải:

Ta có: $\sqrt 9 {\rm{ \;}} + 5 = 3 + 5 = 8$

Chọn B.

Câu 16 (NB):

Phương pháp:

Điều kiện xác định của hàm số $\sqrt {f\left( x \right)}$ là $f\left( x \right) \ge 0$

Cách giải:

Điều kiện xác định của $\sqrt {x - 10}$ là $x - 10 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 10$

Chọn C.

Câu 17 (TH):

Phương pháp:

Dây có độ dài lớn nhất của đường tròn là đường kính

Cách giải:

Dây có độ dài lớn nhất của đường tròn là đường kính

Đường kính của đường tròn $\left( {O;12cm} \right)$ là 24cm

Chọn C.

Câu 18 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng: ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$

Cách giải:

Ta có: ${a^3}.{a^5} = {a^{3 + 5}} = {a^8}$

Chọn C.

Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Đặt nhân tử chung.

Cách giải:

Ta có: ${x^2} - 5x = x\left( {x - 5} \right)$

Chọn D.

Câu 20 (NB):

Phương pháp:

Số đo cung nhỏ AB bằng góc ở tâm$\angle AOB$

Cách giải:

Xét (O) có: $\angle AOB = 60^\circ$

Suy ra số đo cung nhỏ AB là $60^\circ$

Chọn D.

Câu 21 (NB):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bẳng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y = 5}\\{5x + 4y = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12x - 4y = 20}\\{5x + 4y = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{17x = 34}\\{5x + 4y = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{10 + 4y = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {2;1} \right)$

Chọn B.

Câu 22 (NB):

Phương pháp:

Thay giá trị $x = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = {\rm{ \;}} - 2$ vào các hàm số $f\left( x \right)$

Cách giải:

Xét $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}$

Ta có $f(2) = \frac{{{2^2}}}{2} = 2;f( - 2) = \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} = 2$

Suy ra $f\left( 2 \right) = f\left( { - 2} \right)$

Chọn D.

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ điểm $\left( {1; - 1} \right)$ vào phương trình đường thẳng rồi tìm $m$

Cách giải:

Vì đồ thị hàm số $y = \left( {m - 2} \right){x^2}$ đi qua điểm $P\left( {1; - 1} \right)$ nên $m - 2 = {\rm{ \;}} - 1 \Rightarrow m = 1$

Chọn B.

Câu 24 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức Vi – ét: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.$

Cách giải:

Ta có: $\Delta {\rm{ \;}} = 9 - 4.2 = 1 > 0$. Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Viete ta có ${x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = 2$

Chọn D.

Câu 25 (TH):

Phương pháp:

Gọi $I$ là trung điểm của AB.

Sử dụng định lí: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì

vuông góc với dây ấy.

Khi đó OI là khoảng cách từ O đến AB.

Sử dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông để tính OI

Cách giải:

Gọi $I$ là trung điểm của $AB \Rightarrow IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12\left( {cm} \right)$

Vì tam giác OAB cân tại $O \Rightarrow OI \bot AB$

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác OIB:

$OI = \sqrt {O{B^2} - I{B^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} {\rm{ \;}} = 9\left( {cm} \right)$

Vậy khoảng cách từ $O$ đến dây AB là 9cm

Chọn B.

Câu 26 (TH):

Phương pháp:

Thể tích hình nón có chiều cao $h$ và bán kính đáy $r$ là $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h$

Cách giải:

Thể tích hình nón có chiều cao $h = 2cm$ và bán kính đáy $r = 3cm$ là: $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.2 = 6\pi \left( {c{m^3}} \right)$

Chọn C.

Câu 27 (TH):

Phương pháp:

Diện tích đường tròn có bán kính đáy $R$ là $S = \pi {R^2}$, từ đó tìm bán kính rồi tính chu vi của đường tròn

Cách giải:

Gọi $R$ là bán kính của đường tròn

Khi đó $\pi {R^2} = 64\pi {\rm{ \;}} \Rightarrow R = 8\left( {cm} \right)$

Chu vi đường tròn là $C = 2\pi R = 2\pi .8 = 16\pi \left( {cm} \right)$

Chọn D.

Câu 28 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng: $\sin x{\rm{ \;}} = \cos \left( {90^\circ - x} \right)$

Cách giải:

Ta có: $\sin 25^\circ = \cos \left( {90^\circ - 25^\circ } \right) = \cos 65^\circ$

Chọn C.

Câu 29 (TH):

Phương pháp:

Với $a < 0,{\mkern 1mu} \sqrt {{a^2}} {\rm{ \;}} = \left| a \right| = {\rm{ \;}} - a$

Cách giải:

Với $a < 0,{\mkern 1mu} \sqrt {{a^2}} {\rm{ \;}} = \left| a \right| = {\rm{ \;}} - a$

Khi đó $P = \frac{{\sqrt {{a^2}} }}{2} + \frac{{3a}}{2} = \frac{{ - a}}{2} + \frac{{3a}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a$

Chọn D.

Câu 30 (TH):

Phương pháp:

Tìm các nghiệm của phương trình rồi tính tích.

Cách giải:

Ta có: $\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 0}\\{{x^2} - 4 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{{x^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 2}\\{x = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right.$

Tích các nghiệm là $1.2.\left( { - 2} \right) = {\rm{ \;}} - 4$

Chọn A.

Câu 31 (TH):

Phương pháp:

Biểu diễn $x$ theo $y$ rồi thay vào phương trình $2x - y = 8$

Cách giải:

Vì $\frac{x}{y} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{2}y$

Khi đó $3y - y = 8 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4$

Chọn D.

Câu 32 (TH):

Phương pháp:

Rút gọn biểu thức, đưa một số ra ngoài dấu căn: $\sqrt {{a^2}b} {\rm{ \;}} = a\sqrt b$

Cách giải:

Ta có: $A = 2\sqrt 3 a - \sqrt {48} a = 2\sqrt 3 a - 4\sqrt 3 a = {\rm{ \;}} - 2\sqrt 3 a$

Chọn A.

Câu 33 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của tam giác cân và tính chất của góc ngoài

Cách giải:

Vì $\Delta MOA$ cân tại $O$ nên $\angle OMA = \angle MAO$

Ta có: $\angle MOB = \angle OMA + \angle MAO = 2\angle OMA = 2.30^\circ = 60^\circ$

Chọn D.

Câu 34 (TH):

Phương pháp:

Tìm các phần tử thuộc tập hợp $M$

Cách giải:

Ta có: $n \in \mathbb{N}*,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n \vdots 3,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n \le 30 \Rightarrow n \in \left\{ {3;6; \ldots ;30} \right\}$

Khi đó $M$ có 10 phần tử

Chọn D.

Câu 35 (TH):

Phương pháp:

Lập đường thẳng đi qua hai điểm, từ đó có hệ phương trình, giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $A\left( { - 2;1} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {1;7} \right)$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a + b = 1}\\{a + b = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a = 6}\\{a + b = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{2 + b = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 5}\end{array}} \right.$

Hàm số cần tìm là $y = 2x + 5$

Chọn A.

Câu 36 (VD):

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm

- Tìm điều kiện để phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt

- Áp dụng định lý Vi-ét để giải điều kiện

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\left( P \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d$: ${x^2} = \left( {m + 1} \right)x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2 = 0$

$\Delta {\rm{ \;}} = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.\left( { - 2} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 8 > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m \in \mathbb{R}$

Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}$ với mọi $m$

Áp dụng định lý Viete ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 1}\\{{x_1}{x_2} = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right.$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1} = {x_1}^2 \Rightarrow {y_1}^2 = x_1^4}\\{{y_2} = {x_2}^2 \Rightarrow {y_2}^2 = x_2^4}\end{array}} \right.$

Khi đó $x_1^4 - x_2^4 = 8\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)$

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 8\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)}\\{ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 - 8} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 8 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_1} \ne {x_2} \Rightarrow x_1^2 \ne x_2^2} \right)}\\{ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 8}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} = 8}\\{ \Rightarrow {{\left( {m + 1} \right)}^2} + 4 = 8}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {m + 1} \right)}^2} = 4}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 = 2}\\{m + 1 = - 2}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = - 3}\end{array}} \right.}\end{array}$

Tổng các giá trị của tham số $m$ thỏa mãn là $1 - 3 = {\rm{ \;}} - 2$

Chọn D.

Câu 37 (TH):

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

- Gọi chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b > 0} \right)$

- Lập hệ phương trình, tìm $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b$

Cách giải:

Gọi chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b > 0} \right)$

Chu vi sân trường hình chữ nhật là $300m \Rightarrow a + b = 150$ (1)

Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là 50m nên $2a - 3b = 50$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 150}\\{2a - 3b = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a + 2b = 300}\\{2a - 3b = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5b = 250}\\{2a - 3b = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 50}\\{2a - 150 = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 50}\\{a = 100}\end{array}} \right.$

Diện tích sân trường là $S = 100.50 = 5000\left( {{m^2}} \right)$

Chọn B.

Câu 38 (TH):

Phương pháp:

- Sử dụng tính chất của đường thẳng song song

- Sử dụng định lý tan trong tam giác

Cách giải:

Xét cấu trúc như hình trên: $AB = 12,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BM = 8,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle MED = 40^\circ$

Ta có: $DE\parallel MN \Rightarrow \angle HMN = \angle MED = 40^\circ$

Xét tam giác HMN vuông tại $N$ có:

 $HN = MN.\tan \angle HMN = 12.\tan 40^\circ \approx 10,07$

Vậy chiều cao của cây là $10,07 + 8 = 18,07\left( m \right)$

Chọn B.

Câu 39 (TH):

Phương pháp:

- Chứng minh $\Delta MAC\backsim \Delta MDA$

- Tính MA

Cách giải:

Ta có: $M$ là điểm chính giữa của cung nhỏ AB nên

Lại có:

Suy ra $\angle MAC = \angle MDA$

Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MDA$ có: $\angle MAC = \angle MDA$; $\angle AMD{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} chung$

$\Rightarrow \Delta MAC\backsim \Delta MDA(\text{g-g})$$\Rightarrow \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow M{A^2} = MC.MD = 9.16$

$\Rightarrow MA = 12(cm)$

Chọn C.

Câu 40 (VD):

Phương pháp:

- Tìm ĐKXĐ

- Đưa về phương trình tích

Cách giải:

ĐKXĐ: ${x^2} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x \le {\rm{ \;}} - 1}\end{array}} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x^2} - 1} - {x^2} + 1 = 0}\\{ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} - \left( {{x^2} - 1} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} \left( {1 - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x^2} - 1} = 0}\\{\sqrt {{x^2} - 1} = 1}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 = 0}\\{{x^2} - 1 = 1}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 1}\\{{x^2} = 2}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 1}\\{x = \sqrt 2 }\\{x = - \sqrt 2 }\end{array}} \right.}\end{array}$

Vậy tích các nghiệm là $1.( - 1).\sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 } \right) = 2$

Chọn B.

Câu 41 (VD):

Phương pháp:

Gọi H là giao điểm của AB và MO

Sử dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Py-ta-go để tính độ dài các đoạn thẳng.

Cách giải:

Gọi $H$ là giao điểm của AB và MO

Xét (O) có 2 tiếp tuyến MA, MB cắt nhauu tại M nên $MA = MB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OA = OB$

Suy ra OM là đường trung trực của AB

Xét tam giác MAO vuông tại $A$ có $AH \bot MO:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}$

$\Rightarrow O{A^2} = OH.OM \Rightarrow OH = \frac{{O{A^2}}}{{OM}} = \frac{{{2^2}}}{4} = 1$

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác OAH vuông tại $H$:

$AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {{2^2} - {1^1}} {\rm{ \;}} = \sqrt 3$

Do đó $AB = 2AH = 2\sqrt 3 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)$

Chọn B.

Câu 42 (VD):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Cách giải:

ĐKXĐ: $x \ne y \ne 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3}\\{\frac{1}{{x + y}} - \frac{3}{{x - y}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3}\\{\frac{2}{{x + y}} - \frac{6}{{x - y}} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3}\\{\frac{7}{{x - y}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{7} = 3}\\{x - y = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} = \frac{{20}}{7}}\\{x - y = 7}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = \frac{7}{{10}}}\\{x - y = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{77}}{{20}}}\\{y = \frac{{ - 63}}{{20}}}\end{array}} \right.\end{array}$

Khi đó $\frac{2}{7}{x_0} + \frac{2}{3}{y_0} = \frac{2}{7}.\frac{{77}}{{20}} - \frac{2}{3}.\frac{{63}}{{20}} = {\rm{ \;}} - 1$

Chọn B.

Câu 43 (VD):

Phương pháp:

Tính góc A trong tam giác ABC.

Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABH vuông H.

Cách giải:

Ta có: $\angle BAC = 180^\circ - 2\angle B = 180^\circ - 2.65^\circ = 50^\circ$ (do tam giác ABC cân tại $A$)

Tam giác ABH vuông tại $H$ nên $AB = \frac{{BH}}{{\sin 50^\circ }} = \frac{4}{{\sin 50^\circ }} = 5,22$

Diện tích tam giác ABC là ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}BH.AB = \frac{1}{2}.4.5,22 = 10,44$ (đvdt)

Chọn A.

Câu 44 (VD):

Phương pháp:

- Gọi giao điểm của d với hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt là A, B

- Gọi OH vuông góc với AB tại H

- Tính $OA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OB$ rồi dùng hệ thức lượng tính OH

Cách giải:

Gọi $A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B$ lần lượt là giao điểm của $d$ với trục $Ox,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} Oy$

Khi đó $A\left( {1 - m;0} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {0;m - 1} \right)$

Suy ra $OA = \left| {1 - m} \right|,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OB = \left| {m - 1} \right|$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OAB vuông tại $O$ có OH vuông góc với AB

$\Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}$

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = \frac{2}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}}\\{ \Rightarrow OH = \frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}}\end{array}$

Từ giả thiết suy ra $\frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {\rm{ \;}} \Rightarrow \left| {m - 1} \right| = 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 = 2}\\{m - 1 = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3}\\{m = {\rm{ \;}} - 1}\end{array}} \right.$

Mà $m > 0 \Rightarrow m = 3$

Chọn C.

Câu 45 (VD):

Phương pháp:

Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai

Cách giải:

$\left( {{m^2}{x^2} + 4x + 1} \right)\left( {x - 2023} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2}{x^2} + 4x + 1 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}\\{x = 2023}\end{array}} \right.$

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2023

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' = 4 - {m^2} > 0}\\{2023{m^2} + 4.2023 + 1 \ne 0}\\{m \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} < 4}\\{m \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 < m < 2}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.$

Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;1} \right\}$

Chọn D.

Câu 46 (VD):

Phương pháp:

Xác định giao điểm của hai đường thẳng.

Từ đó tính diện tích tam giác ABC.

Cách giải:

Ta có: $A\left( { - 2;0} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {0;2} \right)$

Tọa độ $C$ là nghiệm của hệ:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }\\{y = {\rm{ \;}} - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.$

Ta có: $OC = 2\sqrt 3$

$AB = OA + OB = 2 + 2 = 4$

Diện tích tam giác ABC là $\frac{1}{2}OC.AB = \frac{1}{2}.2\sqrt 3 .4 = 4\sqrt 3$ (đvdt)

Chọn B.

Câu 47 (VDC):

Phương pháp:

Gọi F là giao điểm của AD và BC

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BP tại K, cắt CQ tại H

Áp dụng định lí Ta-ét suy ra ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Sử dụng các kiến thức tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Cách giải:

Gọi F là giao điểm của AD và BC

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BP tại K, cắt CQ tại H

Suy ra HK // MN // BC

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

Vì $AK\parallel BF \Rightarrow \frac{{AK}}{{BF}} = \frac{{AD}}{{DF}}$

Vì $AH\parallel FC \Rightarrow \frac{{AH}}{{FC}} = \frac{{AD}}{{DF}}$

$\Rightarrow \frac{{AK}}{{BF}} = \frac{{AD}}{{DF}} = \frac{{AH}}{{FC}} = \frac{{AH + AK}}{{BF + FC}} = \frac{{HK}}{{BC}}$ (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Lại có: $\frac{{AQ}}{{BQ}} = \frac{{AH}}{{BC}}\quad (AH\parallel BC)$

$\frac{{AP}}{{CP}} = \frac{{AK}}{{BC}}(AK\parallel BC)$

$\Rightarrow \frac{{AQ}}{{BQ}} + \frac{{AP}}{{CP}} = \frac{{AH}}{{BC}} + \frac{{AK}}{{BC}} = \frac{{HK}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DF}}$

Mà $\frac{{AM}}{{MC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AD}}{{DF}} = \frac{2}{3}$

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \frac{{AQ}}{{BQ}} + \frac{{AP}}{{CP}} = \frac{2}{3}}\\{ \Rightarrow \frac{{AQ}}{{BQ}} + 1 + \frac{{AP}}{{CP}} + 1 = \frac{2}{3} + 2}\\{ \Rightarrow \frac{{AB}}{{BQ}} + \frac{{AC}}{{CP}} = \frac{8}{3}}\\{ \Rightarrow \frac{4}{{BQ}} + \frac{4}{{CP}} = \frac{8}{3}}\\{ \Rightarrow \frac{1}{{BQ}} + \frac{1}{{CP}} = \frac{2}{3}}\end{array}$

Chọn C.

Câu 48 (VD):

Phương pháp:

Gọi $A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với hai trục tọa độ Ox, Oy.

Biểu diễn diện tích tam giác OAB và tìm GTLN của biểu thức.

Cách giải:

Ta có: $A\left( {0; - 1} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {\frac{1}{{{m^2} + 2m + 3}};0} \right)$. Suy ra $OA = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OB = \frac{1}{{{m^2} + 2m + 3}}$

${S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.1.\frac{1}{{{m^2} + 2m + 3}} = \frac{1}{{2\left( {{m^2} + 2m + 3} \right)}}$

Ta có: ${m^2} + 2m + 3 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{1}{{2\left( {{m^2} + 2m + 3} \right)}} \le \frac{1}{4}$

Hay ${S_{OAB}} \le \frac{1}{4}$

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $m = {\rm{ \;}} - 1$

Chọn C.

Câu 49 (VD):

Phương pháp:

- Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

- Sử dụng định lý Vi-ét

Cách giải:

Ta có: $\Delta ' = 1 - \left( { - m + 5} \right) = m - 4$

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì $m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 4$

Áp dụng định lý Viete ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = {\rm{ \;}} - 2}\\{{x_1}{x_2} = {\rm{ \;}} - m + 5}\end{array}} \right.$

Để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt thì $- m + 5 > 0 \Leftrightarrow m < 5$

Kết hợp hai điều kiện trên ta được $4 < m < 5$

Chọn C.

Câu 50 (VDC):

Phương pháp:

Rút gọn vế trái rồi giải phương trình

Cách giải:

Ta có: $\frac{9}{{x - \sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} + \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 5}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} - \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} = 2\sqrt x {\rm{ \;}} + 1$

$\Leftrightarrow \frac{9}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = 2\sqrt x + 1$

$\Leftrightarrow \frac{{9 + 2x + \sqrt x - 10 - x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = 2\sqrt x + 1$

$\Leftrightarrow \frac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = 2\sqrt x + 1$

$\Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = 2\sqrt x + 1$

$\Leftrightarrow \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) = \sqrt x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x - 4\sqrt x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 = 2\\ \Leftrightarrow {(\sqrt x - 1)^2} = 2\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x - 1 = \sqrt 2 }\\{\sqrt x - 1 = - \sqrt 2 (L)}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \sqrt x = \sqrt 2 + 1\\ \Leftrightarrow x = 3 + 2\sqrt 2 \end{array}$

Vậy $2a - b = 2.3 - 2 = 4$

Chọn C.