Đề thi học kì 2 Toán 8 - Đề số 1 - Cánh diều

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 8 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Khoa học tự nhiên

Đề bài

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?

  • A
    \(1 - {x^2} = 0\).
  • B
    \(2x - 5 = 0\).
  • C
    \(\frac{2}{{x - 3}} + 1 = 0\).
  • D
    \({x^3} - x + 2 = 0\).
Câu 2 :

Với \(m =  - 1\) thì phương trình \(\left( {2{m^2} - 2} \right)x = m + 1\)

  • A
    vô nghiệm.
  • B
    vô số nghiệm.
  • C
    có nghiệm duy nhất là \(x = m - 1\).
  • D
    Có 1 nghiệm là \(x = \frac{1}{{m - 1}}\).
Câu 3 :

Phương trình \(4x - 2 = 0\) có nghiệm là

  • A
    \(x = 2\).
  • B
    \(x = 0\).
  • C
    \(x =  - 2\).
  • D
    \(x = \frac{1}{2}\).
Câu 4 :

Nếu một vòi nước chảy đầy bể trong 5 giờ thì 1 giờ vòi nước đó chảy được bao nhiêu phần bể?

  • A
    \(1\).
  • B
    \(\frac{1}{4}\).
  • C
    \(\frac{1}{5}\).
  • D
    \(5\).
Câu 5 :

Một tam giác có độ dài các cạnh là \(x + 3\); \(x + 1\); \(x + 5\). Biểu thức biểu thị chu vi tam giác đó là

  • A
    \(3x + 9\)
  • B
    \(x + 9\)
  • C
    \(3x - 9\)
  • D
    \(3x + 16\)
Câu 6 :

Năm nay chị 27 tuổi và tuổi em ít hơn tuổi chị 5 tuổi. Vậy năm sau tuổi em là

  • A
    21 tuổi
  • B
    22 tuổi
  • C
    23 tuổi
  • D
    24 tuổi
Câu 7 :

Hãy chọn câu khẳng định đúng.

  • A
    Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng.
  • B
    Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau.
  • C
    Hai tam giác cân luôn đồng dạng.
  • D
    Hai tam giác vuông luôn đồng dạng.
Câu 8 :

$\Delta ABC\backsim \Delta DEF$  theo tỉ số đồng dạng k. Vậy k bằng tỉ số nào sau đây?

  • A
    \(k = \frac{{AB}}{{BC}}\).
  • B
    \(k = \frac{{AC}}{{DF}}\).
  • C
    \(k = \frac{{DE}}{{AB}}\).
  • D
    \(k = \frac{{DE}}{{DF}}\).
Câu 9 :

Cho hình sau. Biết \(\Delta ABC,\Delta ADE\) là hai tam giác cân.

Chọn kết luận đúng trong các câu sau:

  • A
    $\Delta ADE\backsim \Delta ABC\left( g.g \right)$ với $k=2$.
  • B
    $\Delta ADE\backsim \Delta ABC\left( c.c.c \right)$ với $k=\frac{2}{3}$.
  • C
    $\Delta ABC\backsim \Delta ADE\left( c.g.c \right)$ với $k=\frac{3}{2}$.
  • D
    $\Delta ABC\backsim \Delta ADE\left( g.g \right)$ với $k=\frac{1}{2}$.
Câu 10 :

Cho hình vẽ sau. Độ lớn x bằng bao nhiêu để hai tam giác đồng dạng?

  • A
    \(x = 3\).
  • B
    \(x = 4\).
  • C
    \(x = \frac{5}{2}\).
  • D
    \(x = \frac{3}{2}\).
Câu 11 :

Cho hình dưới đây. Biết AB // DE. Chọn hệ thức sai trong các câu sau:

  • A
    \(AB.EC = AC.DC\).
  • B
    \(AB.DE = BC.DC\).
  • C
    \(AC.DE = BC.EC\).
  • D
    \(AB.AC = DE.DC\).
Câu 12 :

Cặp hình đồng dạng trong hình dưới đây là:

  • A
    Hình 1 và hình 2.
  • B
    Hình 1 và hình 3.
  • C
    Hình 2 và hình 3.
  • D
    Không có hình nào đồng dạng.
II. Tự luận
Câu 1 :

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{2}{3}x + 2\frac{1}{2} = 0\)

b) \(4 - 3x = 5\)

c) \(\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x\)

Câu 2 :

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đi được \(\frac{3}{4}\) quãng đường AB, xe con tăng vận tốc 5km/h trên quãng đường còn lại thì đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút. Tính quãng đường AB.

Câu 3 :

Tìm m để phương trình \(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\):

a) Vô nghiệm

b) Có nghiệm duy nhất

Câu 4 :

Cho \(\Delta ABC\) nhọn có AB < AC. Đường cao AH. Qua H vẽ \(HM \bot AB\) và \(HN \bot AC\).

a) Chứng minh $\Delta AMH\backsim \Delta AHB$.

b) Chứng minh \(AN.AC = A{H^2}\).

c) Vẽ đường cao BD cắt AH tại E. Qua D vẽ đường thẳng song song với MN cắt AB tại F. Chứng minh \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\).

Câu 5 :

Giải phương trình:

\(\left( {\frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}} \right)x = \left( {\frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}} \right)\)

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?

  • A
    \(1 - {x^2} = 0\).
  • B
    \(2x - 5 = 0\).
  • C
    \(\frac{2}{{x - 3}} + 1 = 0\).
  • D
    \({x^3} - x + 2 = 0\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\).

Lời giải chi tiết :

Phương trình \(2x - 5 = 0\) có dạng \(ax + b = 0\) với \(a = 2\) nên ta chọn đáp án B.

Đáp án B.

Câu 2 :

Với \(m =  - 1\) thì phương trình \(\left( {2{m^2} - 2} \right)x = m + 1\)

  • A
    vô nghiệm.
  • B
    vô số nghiệm.
  • C
    có nghiệm duy nhất là \(x = m - 1\).
  • D
    Có 1 nghiệm là \(x = \frac{1}{{m - 1}}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay m vào phương trình, đưa phương trình về dạng ax + b = 0 để giải.

Lời giải chi tiết :

Thay \(m =  - 1\) vào phương trình \(\left( {2{m^2} - 2} \right)x = m + 1\), ta có:

\(\begin{array}{l}\left[ {2{{\left( { - 1} \right)}^2} - 2} \right]x =  - 1 + 1\\\left( {2 - 2} \right)x = 0\end{array}\)

\(0.x = 0\) (luôn đúng).

Vậy phương trình có vô số nghiệm.

Đáp án B.

Câu 3 :

Phương trình \(4x - 2 = 0\) có nghiệm là

  • A
    \(x = 2\).
  • B
    \(x = 0\).
  • C
    \(x =  - 2\).
  • D
    \(x = \frac{1}{2}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải phương trình có dạng \(ax + b = 0\).

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(\begin{array}{l}4x - 2 = 0\\4x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array}\)

Đáp án D.

Câu 4 :

Nếu một vòi nước chảy đầy bể trong 5 giờ thì 1 giờ vòi nước đó chảy được bao nhiêu phần bể?

  • A
    \(1\).
  • B
    \(\frac{1}{4}\).
  • C
    \(\frac{1}{5}\).
  • D
    \(5\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Coi bể nước bằng 1. Tính số phần bể mà vòi chảy được trong 1 giờ.

Lời giải chi tiết :

Coi bể nước là 1. Vì vòi nước chảy đầy bể trong 5 giờ nên trong 1 giờ vòi chảy được là:

\(1:5 = \frac{1}{5}\) (bể)

Đáp án C.

Câu 5 :

Một tam giác có độ dài các cạnh là \(x + 3\); \(x + 1\); \(x + 5\). Biểu thức biểu thị chu vi tam giác đó là

  • A
    \(3x + 9\)
  • B
    \(x + 9\)
  • C
    \(3x - 9\)
  • D
    \(3x + 16\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính chu vi tam giác để viết biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Biểu thức biểu thị chu vi tam giác đó là:

\(x + 3 + x + 1 + x + 5 = 3x + 9\).

Đáp án A.

Câu 6 :

Năm nay chị 27 tuổi và tuổi em ít hơn tuổi chị 5 tuổi. Vậy năm sau tuổi em là

  • A
    21 tuổi
  • B
    22 tuổi
  • C
    23 tuổi
  • D
    24 tuổi

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Gọi tuổi của em là x, biểu thị tuổi của chị theo tuổi của em và tính tuổi em năm sau.

Lời giải chi tiết :

Gọi tuổi của em là x (tuổi), \(x \in N*\).

Vì tuổi em ít hơn tuổi chị 5 tuổi nên x + 5 = 27

Giải phương trình ta được x = 27 – 5 = 22 (tuổi) (TM)

Vậy năm sau tuổi của em là: 22 + 1 = 23 tuổi.

Đáp án C.

Câu 7 :

Hãy chọn câu khẳng định đúng.

  • A
    Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng.
  • B
    Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau.
  • C
    Hai tam giác cân luôn đồng dạng.
  • D
    Hai tam giác vuông luôn đồng dạng.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về hai tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng nên ta chọn đáp án A.

Đáp án A.

Câu 8 :

$\Delta ABC\backsim \Delta DEF$  theo tỉ số đồng dạng k. Vậy k bằng tỉ số nào sau đây?

  • A
    \(k = \frac{{AB}}{{BC}}\).
  • B
    \(k = \frac{{AC}}{{DF}}\).
  • C
    \(k = \frac{{DE}}{{AB}}\).
  • D
    \(k = \frac{{DE}}{{DF}}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xác định tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác.

Lời giải chi tiết :

$\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ nên \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = k\).

Vậy \(k = \frac{{AC}}{{DF}}\).

Đáp án B.

Câu 9 :

Cho hình sau. Biết \(\Delta ABC,\Delta ADE\) là hai tam giác cân.

Chọn kết luận đúng trong các câu sau:

  • A
    $\Delta ADE\backsim \Delta ABC\left( g.g \right)$ với $k=2$.
  • B
    $\Delta ADE\backsim \Delta ABC\left( c.c.c \right)$ với $k=\frac{2}{3}$.
  • C
    $\Delta ABC\backsim \Delta ADE\left( c.g.c \right)$ với $k=\frac{3}{2}$.
  • D
    $\Delta ABC\backsim \Delta ADE\left( g.g \right)$ với $k=\frac{1}{2}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Chứng minh $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$ theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Lời giải chi tiết :

Vì \(\Delta ABC,\Delta ADE\) cân nên \(AB = AC\); \(AD = AE\left( { = 6cm} \right)\).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADE\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\) (vì \(AB = AC;AD = AE\))

suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta ADE\left( c.g.c \right)$

suy ra \(k = \frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AE + EC}}{{AE}} = \frac{{6 + 3}}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\).

Đáp án C.

Câu 10 :

Cho hình vẽ sau. Độ lớn x bằng bao nhiêu để hai tam giác đồng dạng?

  • A
    \(x = 3\).
  • B
    \(x = 4\).
  • C
    \(x = \frac{5}{2}\).
  • D
    \(x = \frac{3}{2}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào các trường hợp đồng dạng của hai tam giác để tìm x.

Lời giải chi tiết :

Để hai tam giác đồng dạng thì \(\frac{2}{3} = \frac{x}{6}\) suy ra \(x = \frac{2}{3}.6 = 4\).

Đáp án B.

Câu 11 :

Cho hình dưới đây. Biết AB // DE. Chọn hệ thức sai trong các câu sau:

  • A
    \(AB.EC = AC.DC\).
  • B
    \(AB.DE = BC.DC\).
  • C
    \(AC.DE = BC.EC\).
  • D
    \(AB.AC = DE.DC\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào AB // DE suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {EDC}\).

Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta CDE\left( g.g \right)$ suy ra tỉ số giữa các cặp cạnh tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Vì AB // DE nên \(\widehat {ABC} = \widehat {EDC}\) (hai góc đồng vị)

Xẻ \(\Delta ABC\) và \(\Delta CDE\) có:

\(\widehat A = \widehat C\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat {ABC} = \widehat {EDC}\) (cmt)

Suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta CDE\left( g.g \right)$. Từ đó ta được:

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{CD}}{{CE}}\) suy ra \(AB.CE = AC.CD\). (A đúng)

\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{CD}}{{DE}}\) suy ra \(AB.DE = BC.CD\) (B đúng)

\(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{DE}}\) suy ra \(AC.DE = CE.BC\) (C đúng)

Vậy D sai (vì không có tỉ lệ nào suy ra \(AB.AC = DE.DC\)).

Đáp án D.

Câu 12 :

Cặp hình đồng dạng trong hình dưới đây là:

  • A
    Hình 1 và hình 2.
  • B
    Hình 1 và hình 3.
  • C
    Hình 2 và hình 3.
  • D
    Không có hình nào đồng dạng.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Kiểm tra tỉ số các cặp cạnh của các hình trên.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{2}{{2,5}} = \frac{4}{5} \ne \frac{3}{6}\) nên hình 1 và hình 2 là hai hình đồng dạng

Đáp án A.

II. Tự luận
Câu 1 :

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{2}{3}x + 2\frac{1}{2} = 0\)

b) \(4 - 3x = 5\)

c) \(\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x\)

Phương pháp giải :

Đưa phương trình về dạng ax + b = 0 để giải.

Lời giải chi tiết :

a) \(\frac{2}{3}x + 2\frac{1}{2} = 0\)

\(\begin{array}{l}\frac{2}{3}x + \frac{5}{2} = 0\\\frac{2}{3}x =  - \frac{5}{2}\\x =  - \frac{5}{2}:\frac{2}{3}\\x =  - \frac{{15}}{4}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - \frac{{15}}{4}\).

b) \(4 - 3x = 5\)

\(\begin{array}{l} - 3x = 5 - 4\\ - 3x = 1\\x = \frac{{ - 1}}{3}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - 1}}{3}\).

c) \(\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x\)

\(\begin{array}{l}\frac{{5\left( {7x - 1} \right)}}{{5.6}} = \frac{{6\left( {16 - x} \right)}}{{6.5}} - \frac{{30.2x}}{{30}}\\5\left( {7x - 1} \right) = 6\left( {16 - x} \right) - 60x\\35x - 5 = 96 - 6x - 60x\\35x + 6x + 60x = 96 + 5\\101x = 101\\x = 1\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\)

Câu 2 :

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đi được \(\frac{3}{4}\) quãng đường AB, xe con tăng vận tốc 5km/h trên quãng đường còn lại thì đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút. Tính quãng đường AB.

Phương pháp giải :

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Gọi quãng đường AB là x (km) (x > 0).

Biểu diễn thời gian xe tải, xe con đi theo x và lập phương trình.

Giải phương trình và kiểm tra nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Gọi quãng đường AB dài x (km) (x > 0).

Thời gian xe tải đi hết quãng đường AB là \(\frac{x}{{30}}\) (giờ).

\(\frac{3}{4}\) quãng đường AB là \(\frac{3}{4}x\) (km), khi đó thời gian ô tô con đi hết \(\frac{3}{4}\) quãng đường AB là:

\(\frac{3}{4}x:45 = \frac{x}{{60}}\) (giờ)

Vận tốc xe con sau khi tăng thêm 5km/h là:

45 + 5 = 50 (km/h)

Quãng đường còn lại là: \(1 - \frac{3}{4}x = \frac{x}{4}\) (km)

Thời gian xe con đi hết \(\frac{1}{4}\) quãng đường AB là:

\(\frac{x}{4}:50 = \frac{x}{{200}}\) (h)

Vì xe con đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 2 phút = \(\frac{{49}}{{20}}\)h nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{30}} - \left( {\frac{x}{{60}} + \frac{x}{{200}}} \right) = \frac{{49}}{{20}}\\\frac{{20x}}{{600}} - \frac{{10x}}{{600}} - \frac{{3x}}{{600}} = \frac{{1470}}{{600}}\\\frac{{7x}}{{600}} = \frac{{1470}}{{600}}\\7x = 1470\\x = 210(TM)\end{array}\)

Vậy quãng đường AB dài 210km.

Câu 3 :

Tìm m để phương trình \(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\):

a) Vô nghiệm

b) Có nghiệm duy nhất

Phương pháp giải :

Biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng ax = b:

+ Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{b}{a}\).

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\)

\(\begin{array}{l}2x - 2 - mx = 3\\2x - mx = 3 + 2\\(2 - m)x = 5\end{array}\)

a) Để phương trình \(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\) vô nghiệm thì:

\(2 - m = 0\) suy ra \(m = 2\).

Vậy khi m = 2 thì phương trình vô nghiệm.

b) Để phương trình \(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\) có nghiệm duy nhất thì:

\(2 - m \ne 0\) suy ra \(m \ne 2\).

Vậy khi \(m \ne 2\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{5}{{2 - m}}\).

Câu 4 :

Cho \(\Delta ABC\) nhọn có AB < AC. Đường cao AH. Qua H vẽ \(HM \bot AB\) và \(HN \bot AC\).

a) Chứng minh $\Delta AMH\backsim \Delta AHB$.

b) Chứng minh \(AN.AC = A{H^2}\).

c) Vẽ đường cao BD cắt AH tại E. Qua D vẽ đường thẳng song song với MN cắt AB tại F. Chứng minh \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\).

Phương pháp giải :

a) Chứng minh $\Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g.g \right)$

b) Chứng minh $\Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g.g \right)$ suy ra \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(AN.AC = A{H^2}\).

c) Áp dụng định lý Thales để chứng minh \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\left( { = \frac{{AD}}{{AN}}} \right)\)

Chứng minh $\Delta AFE\backsim \Delta AMH\left( c.g.c \right)$ suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {AHM}\) mà \(\widehat {AHM} = \widehat {ABC}\) nên \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\).

Lời giải chi tiết :

a) Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AHB\) có:

\(\widehat {AMH} = \widehat {AHB}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat A\) chung

suy ra $\Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g.g \right)$ (đpcm)

b) Xét \(\Delta ANH\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat {ANH} = \widehat {AHC}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat A\) chung

suy ra $\Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g.g \right)$

suy ra \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(AN.AC = A{H^2}\) (đpcm)

c) Vì DF // NM nên \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AD}}{{AN}}\)

Vì DE // HN nên \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AD}}{{AN}}\)

suy ra \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\)

Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta AMH\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\)

suy ra $\Delta AFE\backsim \Delta AMH\left( c.g.c \right)$ nên \(\widehat {AEF} = \widehat {AHM}\)

Mà \(\widehat {AHM} = \widehat {ABC}\)(vì $\Delta AMH\backsim \Delta AHB$)

Do đó \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (đpcm)

Câu 5 :

Giải phương trình:

\(\left( {\frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}} \right)x = \left( {\frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}} \right)\)

Phương pháp giải :

Biến đổi a, b trong phương trình ax = b để tìm x.

Sử dụng kiến thức: \(\frac{1}{{a.b}} = \frac{1}{{b - a}}\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} \right)\) với b > a

Lời giải chi tiết :

Phương trình \(\left( {\frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}} \right)x = \left( {\frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}} \right)\) có dạng ax = b với \(a = \frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}\) và \(b = \frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}a = \frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}\\ = \frac{1}{{50}}\left( {\frac{{50}}{{1.51}} + \frac{{50}}{{2.52}} + ... + \frac{{50}}{{10.60}}} \right)\\ = \frac{1}{{50}}\left[ {\left( {1 - \frac{1}{{51}}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{52}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{10}} - \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{{50}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{10}}} \right) - \left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b = \frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}\\ = \frac{1}{{10}}\left( {\frac{{10}}{{1.11}} + \frac{{10}}{{2.12}} + ... + \frac{{10}}{{50.60}}} \right)\\ = \frac{1}{{10}}\left[ {\left( {1 - \frac{1}{{11}}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{12}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{50}} - \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{{10}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{50}}} \right) - \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{{10}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{10}}} \right) - \left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = 5.\frac{1}{{50}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{10}}} \right) - \left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = 5a\end{array}\)

Phương trình trở thành: \(ax = 5a\) suy ra \(x = 5\).

Vậy nghiệm của phương trình \(\left( {\frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}} \right)x = \left( {\frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}} \right)\) là \(x = 5\).

close