Đề thi giữa kì 2 Toán 8 - Đề số 4 - Cánh diều

Đã có lời giải SGK Toán lớp 9 - Cánh diều (mới)

Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác

Đề bài

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Bạn Châu vẽ biểu đồ hình quạt tròn như hình bên để biểu diễn tỉ lệ các loại sách trong thư viện: Khoa học (KH), Kĩ thuật và công nghệ (KT & CN), Văn học và Nghệ thuật (VH – NT); Sách khác. Những dữ liệu mà bạn Châu nêu ra trong biểu đồ hình quạt tròn dữ liệu nào chưa hợp lí?

  • A
    Sách khác.
  • B
    KH.
  • C
    KT - CN.
  • D
    VH - NT.
Câu 2 :

Biểu đồ cột dưới đây biểu diễn kim ngạch xuất khẩu (ước đạt) của tỉnh Bình Dương vào các năm 2016, 2017, 2018, 2019, 2020. Trong giai đoạn từ 2016 - 2020 kim ngạch xuất khẩu hàng hoá của tỉnh Bình Dương trung bình là bao nhiêu tỉ đô la Mỹ?

  • A
    23,6518 tỉ đôla.
  • B
    24,6518 tỉ đôla.
  • C
    25,6518 tỉ đôla.
  • D
    26,6518 tỉ đôla.
Câu 3 :

Cho bảng thống kê về tỉ số phần trăm các loại sách trong tủ sách.

Cho các phát biểu sau:

1. Dữ liệu định lượng là các loại sách Lịch sử Việt Nam, Truyện tranh, thế giới động vật, các loại sách khác;

2. Dữ liệu định tính là tỉ số phần trăm: 25%; 20%; 30%; 25%

3. Dữ liệu chưa hợp lí là tỉ số phần trăm

Số phát biểu sai là:

  • A
    1.
  • B
    2.
  • C
    3.
  • D
    0.
Câu 4 :

Trong hộp bút của bạn Hoa có 5 bút bi xanh, 3 bút bi đỏ và 2 bút bi đen. Xác suất của biến cố “Bạn Hoa lấy một bút bi xanh” là:

  • A
    \(\frac{1}{2}\).
  • B
    \(\frac{3}{{10}}\).
  • C
    \(\frac{2}{{10}}\).
  • D
    \(1\).
Câu 5 :

Bạn An gieo một con xúc xắc 50 lần và thống kê kết quả các lần gieo ở bảng sau:

Xác suất của biến cố “Gieo được mặt 4 chấm” chiếm bao nhiêu?

  • A
    \(\frac{6}{{25}}\).
  • B
    \(\frac{2}{{25}}\).
  • C
    \(\frac{2}{3}\).
  • D
    \(\frac{1}{4}\).
Câu 6 :

Bình gieo 3 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất của biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 28” là:

  • A
    \(0\).
  • B
    \(\frac{1}{{18}}\).
  • C
    \(\frac{1}{{36}}\).
  • D
    \(\frac{1}{{12}}\).
Câu 7 :

Cho tam giác ABC có AB = 9cm; \(D \in AB\) sao cho AD = 6cm. Kẻ DE // BC (\(E \in AC\)); EF // CD (\(F \in AB\)). Tính độ dài AF.

  • A
    6cm.
  • B
    5cm.
  • C
    4cm.
  • D
    7cm.
Câu 8 :

Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AI, BD, CE đồng quy tại G. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của GC và GB. Khi đó, tứ giác MNED là hình gì?

  • A
    Hình chữ nhật.
  • B
    Hình bình hành.
  • C
    Hình thang cân.
  • D
    Hình thang vuông.
Câu 9 :

Cho tam giác ABC, AC = 2AB, AD là tia phân giác của tam giác ABC, khi đó \(\frac{{BD}}{{CD}} =?\)

  • A
    \(\frac{{BD}}{{CD}} = 1\).
  • B
    \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{1}{3}\).
  • C
    \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{1}{4}\).
  • D
    \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{1}{2}\).
Câu 10 :

Cho hình vẽ dưới đây, biết AB // DE. Giá trị của x là:

  • A
    8.
  • B
    10.
  • C
    12.
  • D
    14.
Câu 11 :

Để đo chiều cao AC của một cột cờ (như hình vẽ), người ta cắm một cái cọc ED có chiều cao 2m vuông góc với mặt đất. Đặt vị trí quan sát tại B, biết khoảng cách BE là 1,5m và khoảng cách AB là 9m.

Khi đó chiều cao AC của cột cờ là:

  • A
    12m.
  • B
    6,75m.
  • C
    3m.
  • D
    4m.
Câu 12 :

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm, AC = 4cm. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó độ dài PQ là:

  • A
    2,5cm.
  • B
    10cm.
  • C
    1,5cm.
  • D
    2cm.
II. Tự luận
Câu 1 :

Một cơ quan quản lí đã thống kê được số lượt khách đến tham quan di tích X trong năm qua như sau:

a) Tính xác suất của biến cố E: “Khách đến tham quan di tích trong tháng 7 và tháng 8”.
b) Tính xác suất của biến cố F: “Khách đến tham quan di tích trong thời gian từ tháng 7 đến tháng 12”.

Câu 2 :

Biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn kết quả thống kê (tính theo tỉ số phần trăm) các thị trường cung cấp cà phê cho Tây Ban Nha trong 7 tháng đầu năm 2022.

   (Nguồn: Eurostat)

a) Trong 7 tháng đầu năm 2022 thị trường nào cung cấp cà phê cho Tây Ban Nha là nhiều nhất, ít nhất?

b) Biết lượng cà phê mà tất cả các thị trường cung cấp cho Tây Ban Nha trong 7 tháng đầu năm 2022 là 222 956 tấn. Lập bảng thống kê lượng cà phê mà các thị trường cung cấp cà phê cho Tây Ban Nha trong 7 tháng đầu năm 2022 theo mẫu sau:

Thị trường

Đức

Braxin

Bỉ

Indonexia

Việt Nam

Khác

Lượng cà phê (tấn)

?

?

?

?

?

?

Câu 3 :

Để thiết kế mặt tiền cho căn nhà cấp bốn mái thái, sau khi xác định chiều dài mái PQ = 1,5m. Chú thợ nhẩm tính chiều dài mái DE biết Q là trung điểm EC, P là trung điểm của DC. Em hãy tính giúp chú thợ xem chiều dài mái DE bằng bao nhiêu (xem hình vẽ minh họa)?

Câu 4 :

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi giao điểm hai đường chéo AC và BD là O. Biết OA = 4cm; OC = 8cm; AB = 5cm.

a) Tính CD.

b) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và CD lần lượt tại H và K. Tính diện tích tam giác AOB, biết OK = 6cm.

c) Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng \(OE = OF\).

d) Chứng minh rằng \(\frac{{AE}}{{AD}} + \frac{{CF}}{{BC}} = 1\).

Câu 5 :

Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = ax + b\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = 2x + 2019\) và cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0; - 2} \right)\). Tính giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^3}\)?

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Bạn Châu vẽ biểu đồ hình quạt tròn như hình bên để biểu diễn tỉ lệ các loại sách trong thư viện: Khoa học (KH), Kĩ thuật và công nghệ (KT & CN), Văn học và Nghệ thuật (VH – NT); Sách khác. Những dữ liệu mà bạn Châu nêu ra trong biểu đồ hình quạt tròn dữ liệu nào chưa hợp lí?

  • A
    Sách khác.
  • B
    KH.
  • C
    KT - CN.
  • D
    VH - NT.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát biểu đồ để chỉ ra dữ liệu chưa hợp lí.

Lời giải chi tiết :

Trong biểu đồ trên, ta thấy tỉ lệ của sách khác (20%) bằng tỉ lệ sách KT – CN (20%) nhưng phần biểu diễn của sách khác lại bằng với phần biểu diễn của sách KN (25%). nên dữ liệu sách khác, sách KT – CN hoặc sách KH chưa hợp lý.

Vì tổng tỉ lệ các loại sách là 100%, mà tổng số phần trăm trong biểu đồ trên là 30% + 20% + 25% + 20% = 95% < 100%.

Vậy ta suy ra dữ liệu chưa hợp lí là dữ liệu sách khác. Tỉ lệ của sách khác phải là 25% bằng với tỉ lệ của sách KH.

Câu 2 :

Biểu đồ cột dưới đây biểu diễn kim ngạch xuất khẩu (ước đạt) của tỉnh Bình Dương vào các năm 2016, 2017, 2018, 2019, 2020. Trong giai đoạn từ 2016 - 2020 kim ngạch xuất khẩu hàng hoá của tỉnh Bình Dương trung bình là bao nhiêu tỉ đô la Mỹ?

  • A
    23,6518 tỉ đôla.
  • B
    24,6518 tỉ đôla.
  • C
    25,6518 tỉ đôla.
  • D
    26,6518 tỉ đôla.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính trung bình kim ngạch xuất khẩu hàng hoá của tỉnh Bình Dương.

Lời giải chi tiết :

Trong giai đoạn từ 2016 - 2020 kim ngạch xuất khẩu hàng hoá của tỉnh Bình Dương trung bình là:

\(\frac{{19,257 + 21,908 + 24,032 + 25,287 + 27,775}}{5} = 23,6518\)

Câu 3 :

Cho bảng thống kê về tỉ số phần trăm các loại sách trong tủ sách.

Cho các phát biểu sau:

1. Dữ liệu định lượng là các loại sách Lịch sử Việt Nam, Truyện tranh, thế giới động vật, các loại sách khác;

2. Dữ liệu định tính là tỉ số phần trăm: 25%; 20%; 30%; 25%

3. Dữ liệu chưa hợp lí là tỉ số phần trăm

Số phát biểu sai là:

  • A
    1.
  • B
    2.
  • C
    3.
  • D
    0.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về dữ liệu để kiểm tra.

Lời giải chi tiết :

Phát biểu 1 sai vì đây là dữ liệu định tính.

Phát biểu 2 sai vì đây là dữ liệu định lượng.

Phát biểu 3 sai vì dữ liệu tỉ số phần trăm là dữ liệu hợp lí.

Câu 4 :

Trong hộp bút của bạn Hoa có 5 bút bi xanh, 3 bút bi đỏ và 2 bút bi đen. Xác suất của biến cố “Bạn Hoa lấy một bút bi xanh” là:

  • A
    \(\frac{1}{2}\).
  • B
    \(\frac{3}{{10}}\).
  • C
    \(\frac{2}{{10}}\).
  • D
    \(1\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xác suất của biến cố “Bạn Hoa lấy một bút bi xanh” bằng tỉ số giữa số bút bi xanh với tổng số bút.

Lời giải chi tiết :

Số bút bi trong hộp bút của bạn Hoa là: 5 + 3 + 2 = 10 (bút)

Xác suất của biến cố “Bạn Hoa lấy một bút bi xanh” là:

\(\frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\)

Câu 5 :

Bạn An gieo một con xúc xắc 50 lần và thống kê kết quả các lần gieo ở bảng sau:

Xác suất của biến cố “Gieo được mặt 4 chấm” chiếm bao nhiêu?

  • A
    \(\frac{6}{{25}}\).
  • B
    \(\frac{2}{{25}}\).
  • C
    \(\frac{2}{3}\).
  • D
    \(\frac{1}{4}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xác suất của biến cố “Gieo được mặt 4 chấm” bằng tỉ số giữa số lần gieo được mặt 4 chấm với tổng số lần gieo.

Lời giải chi tiết :

Xác suất của biến cố “Gieo được mặt 4 chấm” là:

\(\frac{{12}}{{50}} = \frac{6}{{25}}\).

Câu 6 :

Bình gieo 3 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất của biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 28” là:

  • A
    \(0\).
  • B
    \(\frac{1}{{18}}\).
  • C
    \(\frac{1}{{36}}\).
  • D
    \(\frac{1}{{12}}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Liệt kê các trường hợp xảy ra của biến cố.

Xác suất của biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 28” bằng tỉ số giữa số trường hợp xảy ra với tổng các kết quả có thể.

Lời giải chi tiết :

Ta có: Ư\(\left( {28} \right) = \left\{ {1;2;4;7;14;28} \right\}\).

Mà con xúc xắc có 6 mặt là 1; 2; 3; 4; 5; 6. Các số này không thể có tích bằng 28 được nên xác suất của biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 28” là0.

Câu 7 :

Cho tam giác ABC có AB = 9cm; \(D \in AB\) sao cho AD = 6cm. Kẻ DE // BC (\(E \in AC\)); EF // CD (\(F \in AB\)). Tính độ dài AF.

  • A
    6cm.
  • B
    5cm.
  • C
    4cm.
  • D
    7cm.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lí Thales để chứng minh.

Lời giải chi tiết :

Ta có: DE // BC nên \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) (định lí Thales)

EF // CD nên \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) (định lí Thales)

\( \Rightarrow AF = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}.6 = 4(cm)\).

Câu 8 :

Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AI, BD, CE đồng quy tại G. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của GC và GB. Khi đó, tứ giác MNED là hình gì?

  • A
    Hình chữ nhật.
  • B
    Hình bình hành.
  • C
    Hình thang cân.
  • D
    Hình thang vuông.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất đường trung bình.

Lời giải chi tiết :

Ta có BD và CE là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của AC; E là trung điểm của AB, khi đó DE là đường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC và DE = \(\frac{1}{2}\)BC. (1)

M và N lần lượt là trung điểm của GC và GB nên MN là đường trung bình của tam giác GBC nên MN // BC và MN = \(\frac{1}{2}\)BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE // MN và DE = MN => MNED là hình bình hành (hai cạnh đối song song và bằng nhau).

Câu 9 :

Cho tam giác ABC, AC = 2AB, AD là tia phân giác của tam giác ABC, khi đó \(\frac{{BD}}{{CD}} =?\)

  • A
    \(\frac{{BD}}{{CD}} = 1\).
  • B
    \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{1}{3}\).
  • C
    \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{1}{4}\).
  • D
    \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{1}{2}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác.

Lời giải chi tiết :

Ta có AD là tia phân giác của tam giác ABC nên \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{2AB}} = \frac{1}{2}\) (tính chất của tia phân giác trong tam giác).

Câu 10 :

Cho hình vẽ dưới đây, biết AB // DE. Giá trị của x là:

  • A
    8.
  • B
    10.
  • C
    12.
  • D
    14.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng hệ quả của định lí Thales để tính độ dài đoạn thẳng AC. Từ đó tính được x.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác CDE có AB // DE nên ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{DE}}\\\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{20}}{{10}} = 2\\ \Rightarrow x - 2 = 2.6 = 12\\ \Rightarrow x = 14\end{array}\)

Câu 11 :

Để đo chiều cao AC của một cột cờ (như hình vẽ), người ta cắm một cái cọc ED có chiều cao 2m vuông góc với mặt đất. Đặt vị trí quan sát tại B, biết khoảng cách BE là 1,5m và khoảng cách AB là 9m.

Khi đó chiều cao AC của cột cờ là:

  • A
    12m.
  • B
    6,75m.
  • C
    3m.
  • D
    4m.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ quả của định lí Thales.

Lời giải chi tiết :

Vì cột cờ AC và cọc DE cùng vuông góc với mặt đất nên AC // DE.

Xét tam giác ABC có AC // DE nên ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{BE}}\\\frac{{AC}}{2} = \frac{9}{{1,5}}\\ \Rightarrow AC = \frac{{9.2}}{{1,5}} = 12\left( m \right)\end{array}\)

Câu 12 :

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm, AC = 4cm. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó độ dài PQ là:

  • A
    2,5cm.
  • B
    10cm.
  • C
    1,5cm.
  • D
    2cm.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định lí Pythagore để tính BC. Dựa vào tính chất đường trung bình để tính PQ.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow BC = \sqrt {25}  = 5\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vì P, Q lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PQ là đường trung bình của tam giác ABC.

\( \Rightarrow PQ = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.5 = 2,5\left( {cm} \right)\)

II. Tự luận
Câu 1 :

Một cơ quan quản lí đã thống kê được số lượt khách đến tham quan di tích X trong năm qua như sau:

a) Tính xác suất của biến cố E: “Khách đến tham quan di tích trong tháng 7 và tháng 8”.
b) Tính xác suất của biến cố F: “Khách đến tham quan di tích trong thời gian từ tháng 7 đến tháng 12”.

Phương pháp giải :

Tính tổng số khách đến tham quan trong năm.

a) Tính tổng số khách đến tham quan di tích trong tháng 7 và tháng 8.

Xác suất của biến cố E: “Khách đến tham quan di tích trong tháng 7 và tháng 8” bằng tỉ số giữa số khách đến tham quan di tích trong tháng 7 và tháng 8 với tổng số khách đến tham quan trong năm.

b) Tính tổng số khách đến tham quan di tích trong thời gian từ tháng 7 đến tháng 12.

Xác suất của biến cố E: “Khách đến tham quan di tích trong thời gian từ tháng 7 đến tháng 12” bằng tỉ số giữa số khách đến tham quan di tích trong thời gian từ tháng 7 đến tháng 12 với tổng số khách đến tham quan trong năm.

Lời giải chi tiết :

Tổng số khách đến tham quan trong năm là:

139 + 188 + 145 + 120 + 118 + 112 = 822 (khách)

a) Tổng số khách đến tham quan di tích trong tháng 7 và tháng 8 là: 120 khách

Xác suất của biến cố E: “Khách đến tham quan di tích trong tháng 7 và tháng 8” là:

\(\frac{{120}}{{822}} = \frac{{20}}{{137}}\).

b) Tính tổng số khách đến tham quan di tích trong thời gian từ tháng 7 đến tháng 12 là:

120 + 118 + 112 = 350 (khách)

Xác suất của biến cố E: “Khách đến tham quan di tích trong thời gian từ tháng 7 đến tháng 12” là:

\(\frac{{350}}{{822}} = \frac{{175}}{{411}}\)

Câu 2 :

Biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn kết quả thống kê (tính theo tỉ số phần trăm) các thị trường cung cấp cà phê cho Tây Ban Nha trong 7 tháng đầu năm 2022.

   (Nguồn: Eurostat)

a) Trong 7 tháng đầu năm 2022 thị trường nào cung cấp cà phê cho Tây Ban Nha là nhiều nhất, ít nhất?

b) Biết lượng cà phê mà tất cả các thị trường cung cấp cho Tây Ban Nha trong 7 tháng đầu năm 2022 là 222 956 tấn. Lập bảng thống kê lượng cà phê mà các thị trường cung cấp cà phê cho Tây Ban Nha trong 7 tháng đầu năm 2022 theo mẫu sau:

Thị trường

Đức

Braxin

Bỉ

Indonexia

Việt Nam

Khác

Lượng cà phê (tấn)

?

?

?

?

?

?

Phương pháp giải :

Dựa vào biểu đồ để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết :

a) Trong 7 tháng đầu năm 2022, thị trường cung cấp cà phê cho Tây Ban Nha nhiều nhất là Việt Nam với 30,1%; thị trường cung cấp ít nhất là Indonexia với 5,5%.

b) Lượng cà phê Đức cung cấp cho Tây Ban Nha là: 222 956.12,6% = 28 092,456 (tấn)

Lượng cà phê Braxin cung cấp cho Tây Ban Nha là: 222 956.19,1% = 42 584,596 (tấn)

Lượng cà phê Bỉ cung cấp cho Tây Ban Nha là: 222 956.6,6% = 14 715,096 (tấn)

Lượng cà phê Indonexia cung cấp cho Tây Ban Nha là: 222 956.5,5% = 12 262,58 (tấn)

Lượng cà phê Việt Nam cung cấp cho Tây Ban Nha là: 222 956.30,1% = 67 109,756 (tấn)

Lượng cà phê thị trường khác cung cấp cho Tây Ban Nha là: 222 956.26,1% = 58 191,516 (tấn)

Ta có bảng giá trị:

Thị trường

Đức

Braxin

Bỉ

Indonexia

Việt Nam

Khác

Lượng cà phê (tấn)

28092,456

42584,596

14715,096

12262,58

67109,756

58191,516

 

Câu 3 :

Để thiết kế mặt tiền cho căn nhà cấp bốn mái thái, sau khi xác định chiều dài mái PQ = 1,5m. Chú thợ nhẩm tính chiều dài mái DE biết Q là trung điểm EC, P là trung điểm của DC. Em hãy tính giúp chú thợ xem chiều dài mái DE bằng bao nhiêu (xem hình vẽ minh họa)?

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất của đường trung bình để tính.

Lời giải chi tiết :

Vì Q là trung điểm EC, P là trung điểm của DC nên PQ là đường trung bình của tam giác CDE.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow QP = \frac{1}{2}DE\\ \Rightarrow DE = 2QP = 2.1,5 = 3m\end{array}\)

Vậy chiều dài mái DE bằng 3m.

Câu 4 :

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi giao điểm hai đường chéo AC và BD là O. Biết OA = 4cm; OC = 8cm; AB = 5cm.

a) Tính CD.

b) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và CD lần lượt tại H và K. Tính diện tích tam giác AOB, biết OK = 6cm.

c) Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng \(OE = OF\).

d) Chứng minh rằng \(\frac{{AE}}{{AD}} + \frac{{CF}}{{BC}} = 1\).

Phương pháp giải :

a) Sử dụng hệ quả của định lí Thales trong tam giác để tính CD.

b) Áp dụng định lí Thales để tính OH.

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

c) Dựa vào hệ quả và định lí Thales để chứng minh.

d) Chứng minh \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) để suy ra \(\frac{{AE}}{{AD}} + \frac{{CF}}{{BC}} = 1\).

Lời giải chi tiết :

a) Xét tam giác OCD có AB // CD, ta có:

\(\frac{{AO}}{{OC}} = \frac{{AB}}{{CD}}\) (hệ quả của định lí Thales)

\(\frac{4}{8} = \frac{5}{{CD}} \Rightarrow CD = 5:\frac{4}{8} = 10\left( {cm} \right)\)

b) Xét tam giác OKC có AH // KC (vì AB // CD), ta có:

\(\frac{{HO}}{{OK}} = \frac{{OA}}{{OC}}\) (Định lí Thales)

\(\begin{array}{l}\frac{{OH}}{6} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow OH = \frac{1}{2}.6 = 3\left( {cm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OH.AB = \frac{1}{2}3.5 = 7,5\left( {c{m^2}} \right)\)

c) Xét tam giác ACD có EO // CD (vì AB // CD) nên \(\frac{{EO}}{{CD}} = \frac{{AO}}{{AC}}\) (hệ quả của định lí Thales)

Xét tam giác BCD có OF // CD (vì AB // CD) nên \(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{OF}}{{CD}}\) (hệ quả của định lí Thales)

Xét tam giác ABC có OF // AB nên \(\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) (định lí Thales) (1)

\( \Rightarrow \frac{{EO}}{{CD}} = \frac{{OF}}{{CD}} \Rightarrow EO = OF\) (đpcm)

d) Xét tam giác ACD có EO // CD nên \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AO}}{{AC}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{BF}}{{BC}}\)

\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AD}} + \frac{{CF}}{{BC}} = \frac{{BF}}{{BC}} + \frac{{CF}}{{BC}} = \frac{{BF + CF}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1\) (đpcm).

Câu 5 :

Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = ax + b\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = 2x + 2019\) và cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0; - 2} \right)\). Tính giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^3}\)?

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) song song với nhau khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết :

Theo đề bài ta có:

\({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b \ne 2019\end{array} \right. \Rightarrow y = 2x + b\).

Vì \({d_1}\) cắt trục tung tại \(A\left( {0; - 2} \right)\) nên -2 = 2.0 + b \( \Rightarrow \) b = -2 (TM)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^3} = {2^2} + {\left( { - 2} \right)^3} = 4 - 8 =  - 4\).

Vậy \({a^2} - {b^3} =  - 4\).

close