Đề thi giữa kì 2 Toán 8 - Đề số 2 - Kết nối tri thứcĐã có lời giải SGK Toán lớp 9 - Kết nối tri thức (mới) Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác Đề bài I. Trắc nghiệm Khoanh tròn trước câu trả lời đúng. Câu 1 : Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức đại số?
Câu 2 : Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{3x - 5}}{{2x + 1}}\) là:
Câu 3 : Tính giá trị của phân thức \(A\left( x \right) = \frac{3}{{x - 1}}\) với \(x \ne 1\) tại x = 2
Câu 4 : Thực hiện phép tính sau: \(\frac{{2x - 3}}{7} + \frac{{5x + 3}}{7}\), ta được kết quả là:
Câu 5 : Kết quả phép tính \(\frac{{8x}}{{15{y^3}}}:\left( { - \frac{{4{x^2}}}{{3{y^2}}}} \right)\) là
Câu 7 : Đâu là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông:
Câu 8 : Một người cao 1,5 mét có bóng trên mặt đất dài 2,1 mét. Cùng lúc ấy, một cái cây gần đó có bóng trên mặt đất dài 4,2 mét. Tính chiều cao của cây.
II. Tự luận Câu 1 : Cho \(A = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right).\frac{{3x - 3}}{2}\) với \(x \ne \pm 1\). a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 2. c) Với giá trị nguyên nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Câu 2 : Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 45 km. Khi ngược dòng từ bến B về bến A, ca nô gặp một ca nô khác tại vị trí C cách bến A 27 km. Biết vận tốc dòng nước là 3km/h. Gọi x (km/h) là tốc độ của ca nô ( x > 3). a) Viết phân thức biểu thị theo x thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B. b) Viết phân thức biểu thị theo x thời gian ca nô đi từ bến B đến vị trí C. c) Viết phân thức biểu thị theo x tổng thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C. Tính tổng thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C nếu vận tốc của ca nô là 12km/h. Câu 3 : Hai cây B và C được trồng dọc trên đường, cách nhau 18m và cách đều cột đèn D. Ngôi trường A cách cột đèn D 12m theo hướng vuông góc với đường (xem hình vẽ). Tính khoảng cách từ mỗi cây đến ngôi trường.
Câu 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH (H thuộc BC). a) Chứng minh $\Delta ABH\backsim \Delta CBA$, suy ra \(A{B^2} = BH.BC\). b) Vẽ \(HE \bot AB\) tại E, \(HF \bot AC\) tại F. Chứng minh \(AB.AE = AC.AF\). c) Chứng minh $\Delta AEF\backsim \Delta ACB$. d) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HF tại I. Vẽ \(IN \bot BC\) tại N. Chứng minh $\Delta HFN\backsim \Delta HCI$. Câu 5 : Cho \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{{a + b + c}}\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{{a^{2023}}}} + \frac{1}{{{b^{2023}}}} + \frac{1}{{{c^{2023}}}} = \frac{1}{{{a^{2023}} + {b^{2023}} + {c^{2023}}}}\). Lời giải và đáp án I. Trắc nghiệm Khoanh tròn trước câu trả lời đúng. Câu 1 : Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức đại số?
Đáp án : B Phương pháp giải : Phân thức đại số là biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\), trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0. Lời giải chi tiết : Ta có: \(\frac{{5x - 6}}{{3x}}\) (với \(x \ne 0\)) là phân thức đại số vì 5x – 6; 3x là đa thức, 3x khác 0. \(\frac{{\frac{1}{{2x}}}}{{x + 1}}\) (với \(x \ne 0;x \ne - 1\)) không phải phân thức đại số vì \(\frac{1}{{2x}}\) không phải là đa thức. \(\frac{{2x - 3y}}{{xyz}}\) (với \(xyz \ne 0\)) là phân thức đại số vì 2x – 3y, xyz là đa thức và xyz khác 0. \(6{x^2} - 5x + 7 = \frac{{6{x^2} - 5x + 7}}{1}\) là phân thức đại số. Câu 2 : Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{3x - 5}}{{2x + 1}}\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải : Để phân thức xác định thì mẫu thức khác 0. Lời giải chi tiết : Phân thức \(\frac{{3x - 5}}{{2x + 1}}\) xác định khi \(2x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne \frac{{ - 1}}{2}\). Câu 3 : Tính giá trị của phân thức \(A\left( x \right) = \frac{3}{{x - 1}}\) với \(x \ne 1\) tại x = 2
Đáp án : D Phương pháp giải : Kiểm tra giá trị của x. Thay giá trị của x vào phân thức để tính giá trị của A. Lời giải chi tiết : Ta có: \(x = 2 \ne 1\) thỏa mãn điều kiện xác định của A. Thay x = 2 vào A, ta được: \(A\left( 2 \right) = \frac{3}{{2 - 1}} = 3\). Câu 4 : Thực hiện phép tính sau: \(\frac{{2x - 3}}{7} + \frac{{5x + 3}}{7}\), ta được kết quả là:
Đáp án : A Phương pháp giải : Để cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. Lời giải chi tiết : Ta có: \(\frac{{2x - 3}}{7} + \frac{{5x + 3}}{7} = \frac{{2x - 3 + 5x + 3}}{7} = \frac{{7x}}{7} = x\) Câu 5 : Kết quả phép tính \(\frac{{8x}}{{15{y^3}}}:\left( { - \frac{{4{x^2}}}{{3{y^2}}}} \right)\) là
Đáp án : C Phương pháp giải : Sử dụng quy tắc chia hai phân thức. Lời giải chi tiết : Ta có: \(\frac{{8x}}{{15{y^3}}}:\left( { - \frac{{4{x^2}}}{{3{y^2}}}} \right)\)\( = \frac{{8x}}{{15{y^3}}}.\frac{{ - 3{y^2}}}{{4{x^2}}}\)\( = \frac{{2.4.\left( { - 3} \right)x{y^2}}}{{3.5.4{x^2}{y^3}}}\)\( = \frac{{ - 2}}{{5xy}}\).
Đáp án : D Phương pháp giải : Dựa vào định lí hai tam giác đồng dạng. Định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng \({180^0}\). Lời giải chi tiết : Ta có: DE // BC nên $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$ (định lí hai tam giác đồng dạng) \( \Rightarrow \widehat D = \widehat B = {80^0}\), \(\widehat E = \widehat C\)\( = {180^0} - \widehat A - \widehat B\)\( = {180^0} - {60^0} - {80^0}\)\( = {40^0}\) Câu 7 : Đâu là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông:
Đáp án : B Phương pháp giải : Áp dụng định lí Pythagore đảo trong tam giác. Lời giải chi tiết : Ta có: \({4^2} + {6^2} = 52 \ne 49 = {7^2}\) nên tam giác này không phải là tam giác vuông. \({6^2} + {8^2} = 100 = {10^2}\) nên tam giác này là tam giác vuông. \({12^2} + {20^2} = 544 \ne 624 = {25^2}\) nên tam giác này không phải là tam giác vuông. \({6^2} + {9^2} = 117 \ne 121 = {11^2}\) nên tam giác này không phải là tam giác vuông. Câu 8 : Một người cao 1,5 mét có bóng trên mặt đất dài 2,1 mét. Cùng lúc ấy, một cái cây gần đó có bóng trên mặt đất dài 4,2 mét. Tính chiều cao của cây.
Đáp án : A Phương pháp giải : Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông. Lời giải chi tiết : Vì cùng thời điểm nên ta có \(\widehat F = \widehat C\). Xét \(\Delta DEF\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat D = \widehat A\left( { = {{90}^0}} \right)\) \(\widehat F = \widehat C\) $\Rightarrow \Delta DEF\backsim \Delta ABC\left( g.g \right)$ \( \Rightarrow \frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DF}}{{AC}}\) \(\frac{{1,5}}{{2,1}} = \frac{{AB}}{{4,2}} \Rightarrow AB = 4,2.\frac{{1,5}}{{2,1}} = 3\left( m \right)\). II. Tự luận Câu 1 : Cho \(A = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right).\frac{{3x - 3}}{2}\) với \(x \ne \pm 1\). a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 2. c) Với giá trị nguyên nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Phương pháp giải : a) Sử dụng các phép tính với phân thức để rút gọn A. b) Kiểm tra điều kiện của x. Thay x = 2 vào A để tính A. c) Để A nhận giá trị nguyên thì tử thức chia hết cho mẫu thức. Từ đó tìm giá trị của x. Lời giải chi tiết : a) Với \(x \ne \pm 1\), ta có: \(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right).\frac{{3x - 3}}{2}\\ = \frac{{\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{2}\\ = \frac{{x + 1 - x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{2}\\ = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{2}\\ = \frac{3}{{x + 1}}\end{array}\) b) Ta có: \(x = 2\) (tmđk) nên thay \(x = 2\) vào biểu thức A, ta được: \(A = \frac{3}{{2 + 1}} = \frac{3}{3} = 1\). Vậy A = 1 khi x = 2. c) Để A nhận giá trị nguyên thì \(3 \vdots \left( {x + 1} \right)\) hay \(x + 1 \in U\left( 3 \right)\). \(U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\). Ta có bảng giá trị sau:
Vậy \(x \in \left\{ { - 4; - 2;0;2} \right\}\) thì biểu thức A nhận giá trị nguyên. Câu 2 : Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 45 km. Khi ngược dòng từ bến B về bến A, ca nô gặp một ca nô khác tại vị trí C cách bến A 27 km. Biết vận tốc dòng nước là 3km/h. Gọi x (km/h) là tốc độ của ca nô ( x > 3). a) Viết phân thức biểu thị theo x thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B. b) Viết phân thức biểu thị theo x thời gian ca nô đi từ bến B đến vị trí C. c) Viết phân thức biểu thị theo x tổng thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C. Tính tổng thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C nếu vận tốc của ca nô là 12km/h. Phương pháp giải : a,b Thời gian ca nô đi = quãng đường : vận tốc. Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước. Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực – vận tốc dòng nước. c) Thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C = tổng thời gian đi hai đoạn đó. Kiểm tra điều kiện của x, thỏa mãn thì thay vận tốc bằng 12 vào phân thức. Lời giải chi tiết : a) Vì vận tốc của ca nô là x nên vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + 3 (km/h) Vận tốc ngược dòng của ca nô là x -3 (km/h) Vì ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B nên phân thức biểu thị theo x thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B là: \(\frac{{45}}{{x + 3}}\). b) Vì ca nô ngược dòng từ bến B đến vị trí A nên phân thức biểu thị theo x thời gian ca nô đi từ bến B đến vị trí A là: \(\frac{{45 - 27}}{{x - 3}} = \frac{{18}}{{x - 3}}\). c) Phân thức biểu thị theo x tổng thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C là: \(\frac{{45}}{{x + 3}} + \frac{{18}}{{x - 3}}\). Vì x > 3 nên x = 12 thỏa mãn điều kiện. Nếu vận tốc của ca nô là 12km/h thì thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C là: \(\frac{{45}}{{12 + 3}} + \frac{{18}}{{12 - 3}} = 5\left( h \right)\) Câu 3 : Hai cây B và C được trồng dọc trên đường, cách nhau 18m và cách đều cột đèn D. Ngôi trường A cách cột đèn D 12m theo hướng vuông góc với đường (xem hình vẽ). Tính khoảng cách từ mỗi cây đến ngôi trường.
Phương pháp giải : Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ACD\) suy ra AB = AC. Áp dụng định lí Pythagore để tính khoảng cách. Lời giải chi tiết : Vì hai cây B và C được trồng cách đều cột đèn D nên BD = CD = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\).18 = 9(m) Vì ngôi trường A cách cột đèn D 12m theo hướng vuông góc nên \(\widehat {ADC} = {90^o}\). Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\) có: \(AD\) chung \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \left( {{{90}^0}} \right)\) BD = DC (cmt) \( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\) (hai cạnh góc vuông) \( \Rightarrow AB = AC\) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ADC, ta có: \(\begin{array}{l}A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {12^2} + {9^2} = 225\\ \Rightarrow AC = \sqrt {225} = 15\left( m \right)\end{array}\) Vậy khoảng cách từ mỗi cây đến ngôi trường là 15m. Câu 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH (H thuộc BC). a) Chứng minh $\Delta ABH\backsim \Delta CBA$, suy ra \(A{B^2} = BH.BC\). b) Vẽ \(HE \bot AB\) tại E, \(HF \bot AC\) tại F. Chứng minh \(AB.AE = AC.AF\). c) Chứng minh $\Delta AEF\backsim \Delta ACB$. d) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HF tại I. Vẽ \(IN \bot BC\) tại N. Chứng minh $\Delta HFN\backsim \Delta HCI$. Phương pháp giải : a) $\Delta ABH\backsim \Delta CBA$ (g.g) suy ra tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác. b) Chứng minh \(AB.AE = AC.AF = A{H^2}\) thông qua chứng minh $\Delta AHE\backsim \Delta ABH$, $\Delta AHF\backsim \Delta ACH$. c) Dựa vào b ta có tỉ số bằng nhau. Chứng minh $\Delta AEF\backsim \Delta ACB$ (c.g.c) d) Chứng minh $\Delta HNI\backsim \Delta HFC\Rightarrow \frac{HN}{HI}=\frac{HF}{HC}$ suy ra $\Delta HFN\backsim \Delta HCI$. Lời giải chi tiết :
a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CBA\) có: \(\widehat B\) chung \(\widehat H = \widehat A = \left( {{{90}^0}} \right)\) $\Rightarrow \Delta ABH\backsim \Delta CBA\left( g.g \right)$ (đpcm) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = BH.BC\) (đpcm) b) Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta ABH\) có: \(\widehat A\) chung \(\widehat E = \widehat H\left( { = {{90}^0}} \right)\) $\Rightarrow \Delta AHE\backsim \Delta ABH\left( g.g \right)$ \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AE.AB = A{H^2}\) (1) Xét \(\Delta AHF\) và \(\Delta ACH\) có: \(\widehat A\) chung \(\widehat F = \widehat H\left( { = {{90}^0}} \right)\) $\Delta AHF\backsim \Delta ACH\left( g.g \right)$ \( \Rightarrow \frac{{AF}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AF.AC = A{H^2}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC (đpcm) c) Theo ý b, ta có \(AE.AB = AF.AC \Rightarrow \frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\). Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat A\) chung \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) (cmt) $\Rightarrow \Delta AEF\backsim \Delta ACB$ (c.g.c) (đpcm) d) Xét \(\Delta HNI\) và \(\Delta HFC\) có: \(\widehat H\) chung \(\widehat N = \widehat F = \left( {{{90}^0}} \right)\) $\Rightarrow \Delta HNI\backsim \Delta HFC\left( g.g \right)$ \( \Rightarrow \frac{{HN}}{{HI}} = \frac{{HF}}{{HC}}\) Xét \(\Delta HFN\) và \(\Delta HCI\) có: \(\widehat H\) chung \(\frac{{HN}}{{HI}} = \frac{{HF}}{{HC}}\) (cmt) $\Rightarrow \Delta HFN\backsim \Delta HCI\left( c.g.c \right)$ (đpcm) Câu 5 : Cho \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{{a + b + c}}\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{{a^{2023}}}} + \frac{1}{{{b^{2023}}}} + \frac{1}{{{c^{2023}}}} = \frac{1}{{{a^{2023}} + {b^{2023}} + {c^{2023}}}}\). Phương pháp giải : Từ \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{{a + b + c}}\), sử dụng quy tắc tính với phân thức, đa thức để rút gọn tìm ra a, b, c. Lời giải chi tiết : Theo đề bài ta có: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{{a + b + c}}\) \(\begin{array}{l}\frac{{bc + ac + ab}}{{abc}} = \frac{1}{{a + b + c}}\\\left( {bc + ac + ab} \right)\left( {a + b + c} \right) = abc\\bc\left( {a + b} \right) + b{c^2} + ac\left( {a + b} \right) + a{c^2} + ab\left( {a + b} \right) + abc - abc = 0\\bc\left( {a + b} \right) + ac\left( {a + b} \right) + ab\left( {a + b} \right) + \left( {b{c^2} + a{c^2}} \right) = 0\\bc\left( {a + b} \right) + ac\left( {a + b} \right) + ab\left( {a + b} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right) = 0\\\left( {bc + ac + ab + {c^2}} \right)\left( {a + b} \right) = 0\\\left[ {\left( {bc + ab} \right) + \left( {ac + {c^2}} \right)} \right]\left( {a + b} \right) = 0\\\left[ {b\left( {a + c} \right) + c\left( {a + c} \right)} \right]\left( {a + b} \right) = 0\\\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b + c = 0\\a + c = 0\\a + b = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - c\\a = - c\\a = - b\end{array} \right.\end{array}\) Trường hợp 1. Với \(b = - c\), ta có: \(\begin{array}{l}VT = \frac{1}{{{a^{2023}}}} + \frac{1}{{{b^{2023}}}} + \frac{1}{{{c^{2023}}}}\\ = \frac{1}{{{a^{2023}}}} + \frac{1}{{{{\left( { - c} \right)}^{2023}}}} + \frac{1}{{{c^{2023}}}}\\ = \frac{1}{{{a^{2023}}}} - \frac{1}{{{c^{2023}}}} + \frac{1}{{{c^{2023}}}}\\ = \frac{1}{{{a^{2023}}}}\end{array}\) \(\begin{array}{l}VP = \frac{1}{{{a^{2023}} + {b^{2023}} + {c^{2023}}}}\\ = \frac{1}{{{a^{2023}} + {{\left( { - c} \right)}^{2023}} + {c^{2023}}}}\\ = \frac{1}{{{a^{2023}} - {c^{2023}} + {c^{2023}}}}\\ = \frac{1}{{{a^{2023}}}}\end{array}\) \( \Rightarrow VT = VP\) hay \(\frac{1}{{{a^{2023}}}} + \frac{1}{{{b^{2023}}}} + \frac{1}{{{c^{2023}}}} = \frac{1}{{{a^{2023}} + {b^{2023}} + {c^{2023}}}}\) Học sinh tự chứng minh tương tự cho trường hợp \(a = - c\) và \(a = - b\).
|
