30 bài tập vận dụng về Lũy thừa của một số hữu tỉLàm bàiCâu hỏi 1 : Tìm x: \({\left( {2x + 1} \right)^3} = - 0,001\)
Đáp án: B Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức sau để tìm * \({x^{2n}} = {a^{2n}} \Rightarrow x = a\) hoặc x = -a *\({x^{2n + 1}} = {a^{2n + 1}} \Rightarrow x = a\) Lời giải chi tiết:
\({\left( {2x + 1} \right)^3} = - 0,001\) \({\left( {2x + 1} \right)^3} = - 0,{1^3} = {\left( { - 0,1} \right)^3}\) \(\eqalign{& 2x + 1 = - 0,1 \cr & 2x = - 0,1-1 \cr & 2x = - 1,1 \cr & x = - 1,1:2 \cr & x = - 0,55 \cr} \) Câu hỏi 2 : Tìm số tự nhiên n biết: \({5^n} + {5^{n + 2}} = 650\)
Đáp án: A Phương pháp giải:
Áp dụng công thức sau để tìm n \(a \ne 0;a \ne \pm 1\), nếu \({a^m} = {a^n}\) thì m = n Lời giải chi tiết:
\({5^n} + {5^{n + 2}} = 650\) \(\eqalign{& \Leftrightarrow {5^n}\left( {1 + {5^2}} \right) = 650 \cr & \Leftrightarrow {5^n}\left( {1 + 25} \right) = 650 \cr & \Leftrightarrow {5^n}.26 = 650 \cr & \Leftrightarrow {5^n} = 650:26 \cr & \Leftrightarrow {5^n} = 25 = {5^2} \cr & \Rightarrow n = 2 \cr} \) Câu hỏi 3 : Tìm x: \({\left( {{x^2}} \right)^4} = {{{x^{11}}} \over {{x^4}}}\left( {x \ne 0} \right)\)
Đáp án: C Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức sau để tìm * \({x^{2n}} = {a^{2n}} \Rightarrow x = a\) hoặc x = -a *\({x^{2n + 1}} = {a^{2n + 1}} \Rightarrow x = a\) Lời giải chi tiết:
\({\left( {{x^2}} \right)^4} = {{{x^{11}}} \over {{x^4}}}\left( {x \ne 0} \right)\) \(\eqalign{& {x^{2.4}} = {x^{11 - 4}} \cr & {x^8} = {x^7} \cr & {x^7}\left( {x - 1} \right) = 0 \cr} \) +Trường hợp 1: x7 = 0 suy ra x = 0 (ktm) +Trường hợp 2: x – 1 = 0 suy ra x = 1.(tm) Câu hỏi 4 : Tìm số tự nhiên n, biết: \({{625} \over {{5^n}}} = 5\)
Đáp án: B Phương pháp giải:
Áp dụng công thức sau để tìm n \(a \ne 0;a \ne \pm 1\), nếu \({a^m} = {a^n}\) thì m = n Lời giải chi tiết:
\({{625} \over {{5^n}}} = 5\) \(\eqalign{& \Leftrightarrow 625 = {5.5^n} \cr & \Leftrightarrow {5^4} = {5^{n + 1}} \cr & \Leftrightarrow n + 1 = 4 \cr & \Leftrightarrow n = 3 \cr} \) Câu hỏi 5 : Tìm số tự nhiên n, biết: \(27 < {3^n} \le 243\)
Đáp án: B Phương pháp giải:
Áp dụng công thức sau để tìm n \(a \ne 0;a \ne \pm 1\), nếu \({a^m} = {a^n}\) thì m = n Lời giải chi tiết:
\(27 < {3^n} \le 243\) \(\eqalign{& {3^3} < {3^n} \le {3^5} \cr & \Rightarrow 3 < n \le 5 \cr & \Rightarrow n \in {\rm{\{ 4;5\} }} \cr} \) Câu hỏi 6 : Thực hiện phép tính: Câu 1: \(\,\left( { - \frac{5}{{11}} + \frac{5}{{13}}} \right) - \left( {\frac{6}{{11}} - \frac{8}{{13}}} \right) - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)
Đáp án: B Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc dấu ngoặc, sau đó ghép nhóm các số hạng có mẫu số giống nhau, rồi tính. - Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "-" đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu "+" thành dấu "-" và dấu "-" thành dấu "+". - Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên. Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\left( { - \frac{5}{{11}} + \frac{5}{{13}}} \right) - \left( {\frac{6}{{11}} - \frac{8}{{13}}} \right) - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\\ = - \frac{5}{{11}} + \frac{5}{{13}} - \frac{6}{{11}} + \frac{8}{{13}} - \frac{1}{4} = \left( { - \frac{5}{{11}} - \frac{6}{{11}}} \right) + \left( {\frac{5}{{13}} + \frac{8}{{13}}} \right) - \frac{1}{4} = - 1 + 1 - \frac{1}{4} = \frac{{ - 1}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}\) Chọn B Câu 2: \(\,{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^3}.81 - {\left( { - \frac{{18}}{{19}}} \right)^0}\)
Đáp án: A Phương pháp giải:
Thực hiện phép tính với số mũ, rút gọn rồi tính. Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^3}.81 - {\left( { - \frac{{18}}{{19}}} \right)^0}\\ = \frac{1}{4} - 24 + 1 = \frac{1}{4} - 23 = \frac{{1 - 72}}{4} = \frac{{ - 71}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}\) Chọn A Câu 3: \(\,2\frac{3}{7}.\frac{7}{{17}} - 2\frac{3}{7}.\frac{6}{{17}} - 1\frac{2}{5}\)
Đáp án: C Phương pháp giải:
Nhóm các nhân tử chung, chuyển hỗn số thành phân số rồi tính. Lời giải chi tiết:
\(\,\,2\frac{3}{7}.\frac{7}{{17}} - 2\frac{3}{7}.\frac{6}{{17}} - 1\frac{2}{5} = 2\frac{3}{7}\left( {\frac{7}{{17}} - \frac{6}{{17}}} \right) - \frac{8}{5} = \frac{{17}}{7}.\frac{1}{{17}} - \frac{8}{5} = \frac{1}{7} - \frac{8}{5} = \frac{{5 - 56}}{{35}} = \frac{{ - 51}}{{35}}\) Chọn C Câu hỏi 7 : Tìm \(x\) biết: Câu 1: \( - \frac{2}{3}:x + \frac{5}{8} = - \frac{7}{{12}}\)
Đáp án: B Phương pháp giải:
Áp dụng quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” đổi thành dấu “–” và dấu “–” thành dấu “+”. Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l} - \frac{2}{3}:x + \frac{5}{8} = - \frac{7}{{12}}\\ - \frac{2}{3}:x = \frac{{ - 7}}{{12}} - \frac{5}{8}\\ - \frac{2}{3}:x = \frac{{ - 29}}{{24}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{{ - 2}}{3}:\frac{{ - 29}}{{24}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{{16}}{{29}}\end{array}\) Chọn B Câu 2: \({(2x + 3)^2} = 25\)
Đáp án: A Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất: \({x^2} = {a^2}\,\,\,\,\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x = - a\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{(2x + 3)^2} = 25\\ \Rightarrow {(2x + 3)^2} = {5^2} = {( - 5)^2}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = 5\\2x + 3 = - 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 2\\2x = - 8\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 4\end{array} \right.\end{array}\) Chọn A Câu hỏi 8 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{{100}}\) đạt được là:
Đáp án: C Phương pháp giải:
Dùng phương pháp đánh giá biểu thức, sử dụng \({x^2} \ge 0,\forall x\) Lời giải chi tiết:
Ta có: \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{{100}} \ge \frac{1}{{100}}\) Do đó GTNN biểu thức đạt được là \( \frac{1}{100}\) khi \(x + \frac{1}{2} = 0\) hay \(x = - \frac{1}{2}\) Chọn C Câu hỏi 9 : Tìm x biết: a) \(x + \frac{2}{3} = - \frac{1}{{12}}\) b) \({\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} = 9\)
Đáp án: A Phương pháp giải:
a) Biến đổi biểu thức theo đúng quy tắc để tìm giá trị của x. b) Áp dụng công thức: \({A^2} = {B^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A = - B\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}a)\;\;x + \frac{2}{3} = - \frac{1}{{12}}\\ \Leftrightarrow x\;\;\;\;\;\; = - \frac{1}{{12}} - \frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x\;\;\;\;\;\; = - \frac{1}{{12}} - \frac{{2.4}}{{3.4}}\\ \Leftrightarrow x\;\;\;\;\;\; = \frac{{ - 1 - 8}}{{12}}\\ \Leftrightarrow x\;\;\;\;\;\; = \frac{{ - 9}}{{12}} = \frac{{ - 3}}{4}\end{array}\) Vậy x = \(\frac{{ - 3}}{4}\). \(\begin{array}{l}b)\;{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {2{\rm{x + 1}}} \right)^2} = {3^2}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} + 1 = 3\\2{\rm{x}} + 1 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - 1}}{2} = 1\\x = \frac{{ - 3 - 1}}{2} = - 2\end{array} \right.\end{array}\) Vậy x = 1 hoặc x = \( - 2\).
Chọn A. Câu hỏi 10 : Kết quả của phép tính nào sau đây không phải là \({x^{12}}\)?
Đáp án: B Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức sau: \({a^m}.\,\,{a^n} = {a^{m + n}}\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\,\,(a \ne 0;\,\,\,m \ge n)\,\,\,\,\,;\,\,\,\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\) Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\begin{array}{l}{x^{18}}:{x^6} = {x^{18 - 6}} = {x^{12\,\,}}\,\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4}.{x^3} = {x^{4 + 3}} = {x^7}\\{x^4}.{x^8} = \,{x^{4 + 8}} = {x^{12}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left[ {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}} \right]^2} = {\left[ {{x^{3.2}}} \right]^2} = {\left( {{x^6}} \right)^2} = {x^{6.2}} = {x^{12}}\end{array}\) Vậy phép tính không có kết quả \({x^{12}}\) là \({x^4}.{x^3}\) Chọn B. Câu hỏi 11 : Thực hiện phép tính: Câu 1: \(A = 5.\left| { - \frac{1}{{12}}} \right| + \left( {\frac{5}{9} - \frac{7}{{12}}} \right) - {\left( {\frac{2}{3} - \frac{5}{6}} \right)^2}\)
Đáp án: A Phương pháp giải:
- Thứ tự thực hiện các phép tính đối với biểu thức không có dấu ngoặc: Lũy thừa \( \to \) Nhân và chia \( \to \) Cộng và trừ - Thứ tự thực hiện các phép tính đối với biểu thức có dấu ngoặc: \((\,\,)\,\, \to {\rm{[}}\,\,{\rm{]}}\,\, \to {\rm{\{ }}\,\,{\rm{\} }}\) - Áp dụng công thức: \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\) Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}A = 5.\left| { - \frac{1}{{12}}} \right| + \left( {\frac{5}{9} - \frac{7}{{12}}} \right) - {\left( {\frac{2}{3} - \frac{5}{6}} \right)^2}\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\;\;\; = \,\,5.\frac{1}{{12}} + \,\,\,\left( {\frac{{20}}{{36}} - \frac{{21}}{{36}}} \right) - {\left( {\frac{4}{6} - \frac{5}{6}} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\;\;\, = \,\,\,\frac{5}{{12}} - \frac{1}{{36}} - {\left( { - \frac{1}{6}} \right)^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\;\; = \,\,\,\frac{5}{{12}} - \frac{1}{{36}} - \,\frac{1}{{36}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\;\, = \,\,\,\frac{{15}}{{36}} - \frac{1}{{36}} - \,\frac{1}{{36}}\,\\\,\,\,\;\,\,\,\; = \frac{{15 - 1 - 1}}{{36}} = \frac{{13}}{{36}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}\) Chọn A. Câu 2: \(B = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^4}.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^3}\)
Đáp án: D Phương pháp giải:
- Thứ tự thực hiện các phép tính đối với biểu thức không có dấu ngoặc: Lũy thừa \( \to \) Nhân và chia \( \to \) Cộng và trừ - Thứ tự thực hiện các phép tính đối với biểu thức có dấu ngoặc: \((\,\,)\,\, \to {\rm{[}}\,\,{\rm{]}}\,\, \to {\rm{\{ }}\,\,{\rm{\} }}\) - Áp dụng công thức: \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\) Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}B = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^4}.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^3}\,\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{{3^4}}}{{{5^4}}}.\frac{{{5^3}}}{{{3^3}}}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{{3^4}{{.5}^3}}}{{{5^4}{{.3}^3}}}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{3}{5}.\end{array}\) Chọn D. Câu hỏi 12 : Tính hợp lý nếu có thể Câu 1: \(\frac{2}{{13}} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{3}} \right) + \frac{{11}}{{13}} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{3}} \right)\,\)
Đáp án: C Phương pháp giải:
- Thứ tự thực hiện các phép tính đối với biểu thức không có dấu ngoặc: Lũy thừa \( \to \) Nhân và chia \( \to \) Cộng và trừ - Thứ tự thực hiện các phép tính đối với biểu thức có dấu ngoặc: \((\,\,)\,\, \to {\rm{[}}\,\,{\rm{]}}\,\, \to {\rm{\{ }}\,\,{\rm{\} }}\) - \(\left| a \right| = a\)nếu \(a \ge 0\) và \(\left| a \right| = - a\)nếu \(a < 0\). Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\frac{2}{{13}} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{3}} \right) + \frac{{11}}{{13}} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{3}} \right)\,\,\,\\ = \left( {\frac{{ - 5}}{3}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{{13}} + \frac{{11}}{{13}}} \right)\,\,\,\,\\ = \left( {\frac{{ - 5}}{3}} \right) \cdot \frac{{13}}{{13}}\,\,\,\,\\ = \left( {\frac{{ - 5}}{3}} \right).1\,\,\,\,\,\,\,\\ = \frac{{ - 5}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}\) Chọn C. Câu 2: \(\,{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + \,{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3}.27 + \,{\left( { - \frac{{2017}}{{2018}}} \right)^0}\)
Đáp án: C Phương pháp giải:
- Thứ tự thực hiện các phép tính đối với biểu thức không có dấu ngoặc: Lũy thừa \( \to \) Nhân và chia \( \to \) Cộng và trừ - Thứ tự thực hiện các phép tính đối với biểu thức có dấu ngoặc: \((\,\,)\,\, \to {\rm{[}}\,\,{\rm{]}}\,\, \to {\rm{\{ }}\,\,{\rm{\} }}\) - \(\left| a \right| = a\)nếu \(a \ge 0\) và \(\left| a \right| = - a\)nếu \(a < 0\). Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + \,{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3}.27 + \,{\left( { - \frac{{2017}}{{2018}}} \right)^0}\\ = \frac{1}{9} + \,\left( {\frac{{ - 1}}{{27}}} \right).27 + 1\\ = \frac{1}{9} + ( - 1) + 1\\ = \frac{1}{9} + \left[ {( - 1) + 1} \right]\\ = \frac{1}{9} + 0\\ = \frac{1}{9}\end{array}\) Chọn C. Câu 3: \(\left( {1,2 - \sqrt {\frac{1}{4}} } \right):1\frac{1}{{20}} + \left| {\frac{3}{4} - 1,25} \right| - {\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^2}\)
Đáp án: D Phương pháp giải:
- Thứ tự thực hiện các phép tính đối với biểu thức không có dấu ngoặc: Lũy thừa \( \to \) Nhân và chia \( \to \) Cộng và trừ - Thứ tự thực hiện các phép tính đối với biểu thức có dấu ngoặc: \((\,\,)\,\, \to {\rm{[}}\,\,{\rm{]}}\,\, \to {\rm{\{ }}\,\,{\rm{\} }}\) - \(\left| a \right| = a\)nếu \(a \ge 0\) và \(\left| a \right| = - a\)nếu \(a < 0\). Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\left( {1,2 - \sqrt {\frac{1}{4}} } \right):1\frac{1}{{20}} + \left| {\frac{3}{4} - 1,25} \right| - {\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^2}\\ = \,\left( {\frac{{12}}{{10}} - \frac{1}{2}} \right):\frac{{21}}{{20}} + \left| {\frac{3}{4} - \frac{{125}}{{100}}} \right| - \frac{9}{4}\\ = \,\left( {\frac{{12}}{{10}} - \frac{5}{{10}}} \right):\frac{{21}}{{20}} + \left| {\frac{3}{4} - \frac{5}{4}} \right| - \frac{9}{4}\\ = \frac{7}{{10}} \cdot \frac{{20}}{{21}} + \left| {\frac{{ - 2}}{4}} \right| - \frac{9}{4}\,\,\\ = \frac{{7.10.2}}{{10.7.3}} + \frac{2}{4} - \frac{9}{4}\\ = \frac{2}{3} + \frac{2}{4} - \frac{9}{4}\\ = \frac{8}{{12}} + \frac{6}{{12}} - \frac{{27}}{{12}}\\ = \frac{{14}}{{12}} - \frac{{27}}{{12}}\\ = \frac{{14 - 27}}{{12}} = \frac{{ - 13}}{{12}}\end{array}\) Chọn D. Câu hỏi 13 : Tìm \(x\) biết: \({(2x - 1)^2} = 9\).
Đáp án: B Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất: \({x^2} = {a^2}\,\,\,\,\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x = - a\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\begin{array}{l}{(2x - 1)^2} = 9 = {3^2} = {( - 3)^2}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 3\\2x - 1 = - 3\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\2x = - 2\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\end{array}\) Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = - 1\) . Chọn đáp án B Câu hỏi 14 : Thực hiện phép tính: Câu 1: \(\,\left( {2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3}} \right):\frac{1}{4} - 25\)
Đáp án: D Phương pháp giải:
Đưa hỗn số về phân số, rồi thực hiện phép tính theo thứ tự: trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau, rồi đến nhân chia trước, cộng trừ sau. Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\left( {2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3}} \right):\frac{1}{4} - 25\\ = \left( {\frac{8}{3} + \frac{4}{3}} \right):\frac{1}{4} - 25\\ = \frac{{12}}{3}:\frac{1}{4} - 25\\ = 4.4 - 25\\ = 16 - 25\\ = - 9\end{array}\) Chọn D Câu 2: \(\,\frac{{{{10}^3} + {{2.5}^3} + {5^3}}}{{55}}\)
Đáp án: B Phương pháp giải:
Phân tích \({10^3} = {2^3}{.5^3}\) rồi đặt thừa số chung là \({5^3}\) ra ngài, sau đó thực hiện trong ngoặc trước , rồi rút gọn với mẫu, cuối cùng ta tìm được kết quả của phép tính là \(25\). Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\frac{{{{10}^3} + {{2.5}^3} + {5^3}}}{{55}}\\ = \frac{{{2^3}{{.5}^3} + {{2.5}^3} + {5^3}}}{{55}}\\ = \frac{{{5^3}.\left( {{2^3} + 2 + 1} \right)}}{{55}}\\ = {5^3}.\frac{{11}}{{55}} = \frac{{{5^3}}}{5} = {5^2} = 25\end{array}\) Chọn B Câu hỏi 15 : Kết quả của phép tính \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^9}:{\left( {\frac{1}{9}} \right)^3}\)
Đáp án: A Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\) Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^9}:{\left( {\frac{1}{9}} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^9}:{\left( {\frac{1}{3}} \right)^6}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{9 - 6}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}\end{array}\) Chọn A. Câu hỏi 16 : Tìm \(x\) biết: Câu 1: \(\frac{3}{2} \cdot x + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
Đáp án: A Phương pháp giải:
Sử dụng qui tắc chuyển vế đưa về dạng tìm \(x\) quen thuộc Lời giải chi tiết:
\(\frac{3}{2} \cdot x + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\) \(\frac{3}{2} \cdot x = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}\) \(\frac{3}{2} \cdot x = 2\) \(x = 2:\frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\) Chọn A Câu 2: \(\left| {1 - x} \right| - \frac{1}{6} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\)
Đáp án: B Phương pháp giải:
Tính lũy thừa trước rồi biến đổi về dạng \(\left| A \right| = m\,\left( {m \ge 0} \right)\) thì \(A = m\) hoặc \(A = - m.\) Lời giải chi tiết:
\(\left| {1 - x} \right| - \frac{1}{6} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\) \(\left| {1 - x} \right| = \frac{4}{9} + \frac{1}{6}\) \(\left| {1 - x} \right| = \frac{{11}}{{18}}\) \(1 - x = \frac{{11}}{{18}}\) hoặc \(1 - x = - \frac{{11}}{{18}}\) \(x = 1 - \frac{{11}}{{18}}\) hoặc \(x = 1 - \left( { - \frac{{11}}{{18}}} \right)\) Nên \(x = \frac{7}{{18}}\) hoặc \(x = \frac{{29}}{{18}} \cdot \) Chọn B Câu 3: \(x = \frac{{19}}{{11}} \cdot \frac{5}{{14}} + \frac{1}{{11}} \cdot \frac{5}{7} - \sqrt {\frac{{25}}{4}} \cdot \frac{3}{{11}}\)
Đáp án: D Phương pháp giải:
Tính căn thức, sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng Lời giải chi tiết:
\(x = \frac{{19}}{{11}} \cdot \frac{5}{{14}} + \frac{1}{{11}} \cdot \frac{5}{7} - \sqrt {\frac{{25}}{4}} \cdot \frac{3}{{11}}\) \(x = \frac{{19}}{{11}} \cdot \frac{5}{{14}} + \frac{1}{{11}} \cdot \frac{5}{7} - \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{{11}}\) \(x = \frac{5}{{11}} \cdot \frac{{19}}{4} + \frac{5}{{11}} \cdot \frac{1}{7} - \frac{5}{{11}} \cdot \frac{3}{2}\) \(x = \frac{5}{{11}} \cdot \left( {\frac{{19}}{{14}} + \frac{1}{7} - \frac{3}{2}} \right)\) \(x = \frac{5}{{11}} \cdot \left( {\frac{{19}}{{14}} + \frac{2}{{14}} - \frac{{21}}{{14}}} \right)\) \(x = \frac{5}{{11}} \cdot 0 = 0\) vậy \(x=0\) Chọn D Câu 4: \(x = \frac{{{{20}^{12}} \cdot {8^4} \cdot {3^{14}}}}{{{{15}^{13}} \cdot {2^{36}}}}\)
Đáp án: C Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức lũy thừa: \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};\,{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\), \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\) , \({\left( {a.b} \right)^m} = {a^m}.{b^m}\) Lời giải chi tiết:
\(x = \frac{{{{20}^{12}}{{.8}^4}{{.3}^{14}}}}{{{{15}^{13}}{{.2}^{36}}}}\) \( = \frac{{{{\left( {{2^2}.5} \right)}^{12}}.{{\left( {{2^3}} \right)}^4}{{.3}^{14}}}}{{{{\left( {3.5} \right)}^{13}}{{.2}^{36}}}}\) \( = \frac{{{2^{24}}{{.5}^{12}}{{.2}^{12}}{{.3}^{14}}}}{{{3^{13}}{{.5}^{13}}{{.2}^{36}}}}\) \( = \frac{{{2^{36}}{{.5}^{12}}{{.3}^{14}}}}{{{3^{13}}{{.5}^{13}}{{.2}^{36}}}} = \frac{3}{5}\) Vậy \(x=\frac{3}{5}\) Chọn C Câu hỏi 17 : Cho biết \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a},\) với \(a,b,c\) là các số thực khác \(0.\) Tính giá trị của biểu thức : \(M = \frac{{{a^{2019}} + {b^{2019}} + {c^{2019}}}}{{{a^{672}}{b^{673}}{c^{674}}}} \cdot \)
Đáp án: C Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất phép cộng phân số, lũy thừa và giả thiết \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\) để thu gọn biểu thức. Lời giải chi tiết:
\(Do\,\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\,\) nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\, = \frac{{a + b + c}}{{b + c + a}} = 1\) hay \(a = b = c\) \(M = \frac{{{a^{2019}} + {b^{2019}} + {c^{2019}}}}{{{a^{672}}{b^{673}}{c^{674}}}} = \frac{{{a^{2019}} + {a^{2019}} + {a^{2019}}}}{{{a^{672}}{a^{673}}{a^{674}}}} = \frac{{3{a^{2019}}}}{{{a^{2019}}}} = 3\) Chọn C Câu hỏi 18 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\left( {x + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{1}{{100}}\) đạt được là:
Đáp án: C Phương pháp giải:
Dùng phương pháp đánh giá biểu thức, sử dụng \({x^2} \ge 0,\forall x\). Lời giải chi tiết:
Ta có: \({\left( {x + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{1}{{100}} \ge \frac{1}{{100}}\). Do đó GTNN biểu thức đạt được là \(\frac{1}{{100}}\) khi \(x + \frac{1}{3} = 0\) hay \(x = - \frac{1}{3}\). Chọn C. Câu hỏi 19 : Cho biểu thức \(A = \frac{{{2^7}{{.9}^3}}}{{{6^5}{{.8}^2}}}\). Chọn khẳng định đúng.
Đáp án: B Phương pháp giải:
Ta áp dụng công thức sau để tính toán: * \({x^m}.{x^n} = \underbrace {x.x.x....x}_m.\underbrace {x...x}_n = {x^{m + n}}\) *\({x^m}:{x^n} = \frac{{{x^m}}}{{{x^n}}} = {x^{m - n}}\) (\(m \ge n\)) * \({x^{m.n}} = {\left( {{x^m}} \right)^n}\) Lời giải chi tiết:
\(A = \frac{{{2^7}{{.9}^3}}}{{{6^5}{{.8}^2}}} = \frac{{{2^7}.{{\left( {{3^2}} \right)}^3}}}{{{2^5}{{.3}^5}.{{\left( {{2^3}} \right)}^2}}} = \frac{{{2^7}{{.3}^6}}}{{{2^5}{{.2}^6}{{.3}^5}}} = \frac{{{2^7}{{.3}^6}}}{{{2^{11}}{{.3}^5}}} = \frac{{1.3}}{{{2^4}.1}} = \frac{3}{{16}}\). Chọn B. Câu hỏi 20 : Tìm \(x\), biết \({\left( {5x - 1} \right)^6} = 729\)
Đáp án: C Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức sau để tìm \(x\). *\({x^{2n}} = {a^{2n}} \Rightarrow x = a\) hoặc \(x = - a\) *\({x^{2n + 1}} = {a^{2n + 1}} \Rightarrow x = a\) Lời giải chi tiết:
\({\left( {5x - 1} \right)^6} = 729\) \({\left( {5x - 1} \right)^6} = {(3)^6}\) Trường hợp 1: \(\begin{array}{l}5x--1 = 3\\5x = 4\\x = \frac{4}{5}\end{array}\) Trường hợp 2: \(\begin{array}{l}5x--1 = - 3\\5x = - 2\\x = - \frac{2}{5}\end{array}\) Vậy \(x = \frac{4}{5}\) hoặc \(x = - \frac{2}{5}\) Chọn C. Câu hỏi 21 : \({16.2^4}.\frac{1}{{32}}{.2^3}\) Kết quả là:
Đáp án: C Phương pháp giải:
+ Áp dụng công thức nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số. Lời giải chi tiết:
\({16.2^4}.\frac{1}{{32}}{.2^3} = {2^4}{.2^4}.\frac{1}{{{2^5}}}{.2^3} = {2^{4 + 4 - 5 + 3}} = {2^6}\) Chọn C Câu hỏi 22 : Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \({5^n} + {5^{n + 2}} = 650\).
Đáp án: B Phương pháp giải:
Áp dụng công thức sau để tìm \(n\) \(a \ne 0;a \ne \pm 1\) , nếu \({a^m} = {a^n}\) thì \(m = n\). Lời giải chi tiết:
\({5^n} + {5^{n + 2}} = 650\) \({5^n} + {5^n}{.5^2} = 650\) \({5^n}\left( {1 + {5^2}} \right) = 650\) \({5^n}\left( {1 + 25} \right) = 650\) \({5^n}.26 = 650\) \({5^n} = 650:26\) \({5^n} = 25\) \({5^n} = {5^2}\) \(n = 2\) Vậy \(n = 2\) Chọn B. Câu hỏi 23 : Số \(a\)thỏa mãn \(a:{\left( {\frac{1}{3}} \right)^4} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}\) là :
Đáp án: B Phương pháp giải:
Áp dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\). Lời giải chi tiết:
\(a{\rm{ }}:{\left( {\frac{1}{3}} \right)^4} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}\) \(a = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^4}\) \(a = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{3 + 4}}\) \(a = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^7}\) Chọn B. Câu hỏi 24 : Cho \({20^n}\;:\;{5^n} = 4\) thì:
Đáp án: D Phương pháp giải:
Áp dụng công thức \({x^m}:{y^m} = {\left( {x:y} \right)^m}\)\(\left( {y \ne 0;m \in {N^ * }} \right)\) Lời giải chi tiết:
\({20^n}\;:\;{5^n} = 4\) \({(20:5)^n} = 4\) \({4^n} = 4\) \(n = 1\) Chọn D. Câu hỏi 25 : Giá trị của biểu thức \(\frac{{{4^6}{{.9}^5} + {6^9}.120}}{{{8^4}{{.3}^{12}} - {6^{11}}}}\) là
Đáp án: A Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \({x^{m.n}} = {\left( {{x^m}} \right)^n}\) và \({\left( {x.y} \right)^m} = {x^m}.{y^m}\) để biển đổi và tính toán. Lời giải chi tiết:
Ta có \(\frac{{{4^6}{{.9}^5} + {6^9}.120}}{{{8^4}{{.3}^{12}} - {6^{11}}}} = \frac{{{{\left( {{2^2}} \right)}^6}.{{\left( {{3^2}} \right)}^5} + {6^9}.120}}{{{{\left( {{2^3}} \right)}^4}{{.3}^{12}} - {6^{11}}}}\) \( = \frac{{{2^{12}}{{.3}^{10}} + {6^9}.6.20}}{{{2^{12}}{{.3}^{12}} - {6^{11}}}} = \frac{{{2^2}{{.2}^{10}}{{.3}^{10}} + {6^{10}}.20}}{{{{\left( {2.3} \right)}^{12}} - {6^{11}}}}\) \( = \frac{{{2^2}{{.6}^{10}} + {6^{10}}.20}}{{{6^{12}} - {6^{11}}}}\) \( = \frac{{{6^{10}}\left( {{2^2} + 20} \right)}}{{{6^{10}}\left( {{6^2} - 6} \right)}} = \frac{{24}}{{30}} = \frac{4}{5}\) Chọn A. Câu hỏi 26 : Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn \({\left( {2x + 1} \right)^3} = - 0,001\)?
Đáp án: B Phương pháp giải:
Đưa vế phải về thành \({\left( { - 0,1} \right)^3}\) rồi sử dụng kiến thức: Nếu \(n \in N\) lẻ mà \({a^n} = {b^n}\) thì \(a = b\) Lời giải chi tiết:
\({\left( {2x + 1} \right)^3} = - {0,1^3} = {\left( { - 0,1} \right)^3}\) \(2x + 1 = - 0,1\) \(2x = - 0,1 - 1\) \(2x = - 1,1\) \(x = - 1,1:2\) \(x = - 0,55\) Vậy \(x = - 0,55\). Chọn B. Câu hỏi 27 : Cho biết :\({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {10^2} = 385\). Tính nhanh giá trị của biểu thức sau: \(S = \left( {{{12}^2} + {{14}^2} + {{16}^2} + {{18}^2} + {{20}^2}} \right) - \left( {{1^2} + {3^2} + {5^2} + {7^2} + {9^2}} \right)\)
Đáp án: D Phương pháp giải:
Ta biến đổi biểu thức cần tính sao cho xuất hiện giả thiết đề bài cho. Từ đó thay vào ta sẽ tính được giá trị của biểu thức Lời giải chi tiết:
Ta có : \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {10^2} = 385\) Suy ra: \({1^2} + {3^2} + {5^2} + {7^2} + {9^2} = 385 - \left( {{2^2} + {4^2} + {6^2} + {8^2} + {{10}^2}} \right) = 385 - {2^2}\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + {4^2} + {5^2}} \right)\) Và: \({12^2} + {14^2} + {16^2} + {18^2} + {20^2} = {2^2}.\left( {{6^2} + {7^2} + {8^2} + {9^2} + {{10}^2}} \right)\) Suy ra: \(S = {2^2}.\left( {{6^2} + {7^2} + {8^2} + {9^2} + {{10}^2}} \right) - 385 + {2^2}\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + {4^2} + {5^2}} \right)\) \(S = {2^2}\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + {4^2} + {5^2} + {6^2} + {7^2} + {8^2} + {9^2} + {{10}^2}} \right) - 385 = 4.385 - 385 = 1155\) Câu hỏi 28 : Cho \(A = 1 - \frac{3}{4} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} - ... - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2017}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2018}}\). Chứng tỏ \(A\) không phải là một số nguyên. Phương pháp giải:
Nhân \(A\) với \(\frac{3}{4}\) rồi thực hiện cộng \(A\) với \(\frac{3}{4}A\).Thu gọn kết quả và suy ra \(A\). Lời giải chi tiết:
\(A = 1 - \frac{3}{4} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} - ... - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2017}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2018}}\) \( \Rightarrow \frac{3}{4}A = \frac{3}{4} - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} + ...\) \( + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2017}} - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2018}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2019}}\) \( \Rightarrow A + \frac{3}{4}A = 1 + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2019}}\) \( \Rightarrow \frac{7}{4}A = 1 + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2019}}\) \( \Rightarrow A = \left[ {1 + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{2019}}} \right].\frac{4}{7}\) Suy ra \(A > 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) Vì \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2019}} < \frac{3}{4} \Rightarrow A < \left( {1 + \frac{3}{4}} \right).\frac{4}{7} = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(0 < A < 1\). Vậy \(A\) không phải là số nguyên. Câu hỏi 29 : Tìm các số \(a,b\) biết: \({\left| {5a - 6b + 300} \right|^{2011}} + {\left( {2a - 3b} \right)^{2010}} = 0\) .
Đáp án: B Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất : \(\left| x \right| \ge 0\) với mọi \(x \in Z\) và \({x^n} \ge 0\) với mọi \(n\) là số chẵn. Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left| {5a - 6b + 300} \right|}^{2011}} + {{\left( {2a - 3b} \right)}^{2010}} = 0}\\{{{\left| {5a - 6b + 300} \right|}^{2011}} \ge 0 \Rightarrow |5a - 6b + 300{|^{2011}} \ge 0}\\{{{\left( {2a - 3b} \right)}^{2010}} \ge 0}\\{ \Rightarrow {{\left| {5a - 6b + 300} \right|}^{2011}} + {{\left( {2a - 3b} \right)}^{2010}} \ge 0}\\{Hay\,\,{{\left| {5a - 6b + 300} \right|}^{2011}} + {{\left( {2a - 3b} \right)}^{2010}} = 0}\\{khi\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5a - 6b + 300 = 0}\\{2a - 3b = 0}\end{array}} \right.}\\{2a - 3b = 0 \Rightarrow 2a = 3b}\\{ \Rightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{2} = \frac{{5a - 6b}}{{3.5 - 2.6}} = \frac{{ - 300}}{3} = - 100}\\{ \Rightarrow a = - 300;b = - 200}\end{array}\) Chọn B Câu hỏi 30 : Cho biết : \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {10^2} = 385\) . Tính nhanh giá trị của biểu thức sau: \(S = \left( {{{12}^2} + {{14}^2} + {{16}^2} + {{18}^2} + {{20}^2}} \right) - \left( {{1^2} + {3^2} + {5^2} + {7^2} + {9^2}} \right)\)
Đáp án: A Phương pháp giải:
Ta biến đổi biểu thức cần tính sao cho xuất hiện giả thiết đề bài cho. Từ đó thay vào ta sẽ tính được giá trị của biểu thức. Lời giải chi tiết:
Ta có: \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {10^2} = 385\) Suy ra \({1^2} + {3^2} + {5^2} + {7^2} + {9^2} = 385 - \left( {{2^2} + {4^2} + {6^2} + {8^2} + {{10}^2}} \right) = 385 - {2^2}\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + {4^2} + {5^2}} \right)\) Và \({12^2} + {14^2} + {16^2} + {18^2} + {20^2} = {2^2}.\left( {{6^2} + {7^2} + {8^2} + {9^2} + {{10}^2}} \right)\) Suy ra \(\) \(S = {2^2}.\left( {{6^2} + {7^2} + {8^2} + {9^2} + {{10}^2}} \right) - 385 + {2^2}\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + {4^2} + {5^2}} \right)\) \(S = {2^2}\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + {4^2} + {5^2} + {6^2} + {7^2} + {8^2} + {9^2} + {{10}^2}} \right) - 385 = 4.385 - 385 = 1155\) Vậy \(S{\rm{ }} = {\rm{ }}1155\). Chọn A.
|
