Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z = - 5 + t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4 - 2t'\\z = 5 + 3t'\end{array} \right.\) . Phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2 là :
- A \(\frac{{x - 4}}{2} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\)
- B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\)
- C \(\frac{{x + 4}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{2}\)
- D \(\frac{{x - 4}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{2}\)
Phương pháp giải:
Gọi d là đường vuông góc chung của d1 và d2.
Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}M = d \cap {d_1}\\N = d \cap {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .{\overrightarrow u _1} = 0\\\overrightarrow {MN} .{\overrightarrow u _2} = 0\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có : \({{\overrightarrow{u}}_{1}}=\left( 1;0;1 \right);{{\overrightarrow{u}}_{2}}\left( 0;-2;3 \right)\) lần lượt là 1 VTCP của d1 và d2.
Gọi d là đường vuông góc chung của d1 và d2.
Gọi \(M=d\cap {{d}_{1}}\Rightarrow M\in {{d}_{1}}\Rightarrow M\left( 1+t;0;-5+t \right);\,\,N=d\cap {{d}_{2}}\Rightarrow N\in {{d}_{2}}\Rightarrow N\left( 0;4-2t';5+3t' \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - t - 1; - 2t' + 4;3t' - t + 10} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .{\overrightarrow u _1} = 0\\\overrightarrow {MN} .{\overrightarrow u _2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - t - 1 + 3t' - t + 10 = 0\\4t' - 8 + 9t' - 3t + 30 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {4;0; - 2} \right)\\N\left( {0;6;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 4;6;4} \right) = 2\left( { - 2;3;2} \right)\end{array}\)
Vậy đường vuông góc chung của d1 và d2 đi qua \(M\left( 4;0;-2 \right)\) và nhận \(\left( -2;3;2 \right)\) là 1 VTCP nên có phương trình \(\frac{x-4}{-2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{2}\) .
Chọn D.
Câu hỏi trước