Câu hỏi:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3; - 2;5} \right),B\left( {0;1;0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\). Mặt phằng \(\left( P \right):ax + by + cz - 2 = 0\) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T=a+b+c.
- A T=4
- B T=2
- C T=3
- D T=5
Phương pháp giải:
Thay tọa độ A, B vào phương trình (P). Tìm b và mối liên hệ giữa a và c.
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}A,B \in \left( P \right)\\ = > \left\{ \begin{array}{l}3a - 2b + 6c - 2 = 0\\b - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - 2c\\b = 2\end{array} \right.\end{array}\)
(P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I của (S) tới (P) lớn nhất, tức là \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,AB} \right)\).
\(\begin{array}{l}d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {c + 4} \right|}}{{\sqrt {{c^2} + {{\left( {2 - 2c} \right)}^2} + 4} }}\\ = d\left( {I,AB} \right) = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow {\left( {c + 4} \right)^2} = 5\left( {5{c^2} - 8c + 8} \right)\\ \Leftrightarrow c = 1 \Rightarrow a = 0 = > T = 3\end{array}\)
Câu hỏi trước