Phương pháp giải:

Xác định đường thẳng qua G và vuông góc với (SAC).

Góc giữa CG và (SAC) là góc giữa CG và hình chiếu của nó lên (SAC).

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm của ABCD.

M là trung điểm của AO, N là trung điểm của AB.

Qua G kẻ GP song song với MN (\(P \in SM\)).

Ta có ABCD là hình vuông nên \(BD \bot AC\). Mà \(MN||BD\)\( \Rightarrow MN \bot AC\).

Ta lại có \(MN \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)

=> \(MN \bot \left( {SAC} \right)\)

\(\begin{array}{l}GP||MN \Rightarrow GP \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow \widehat {\left( {CG,\left( {SAC} \right)} \right)} = \widehat {GCP} = \alpha \end{array}\)

\(GP = \dfrac{2}{3}MN = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}OB\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{6}.a\sqrt 2 \)

Kẻ \(PQ||SA \Rightarrow PQ = \dfrac{1}{3}SA = \dfrac{{2a}}{3}\)

\(\begin{array}{l}CQ = \dfrac{1}{3}MA + 3MA = \dfrac{{10}}{3}.MA\\ = \dfrac{{10}}{3}.\dfrac{1}{4}AC = \dfrac{5}{6}AC = \dfrac{{5.a\sqrt 2 }}{6}\\ \Rightarrow CP = \sqrt {C{Q^2} + P{Q^2}} \\ = \sqrt {\dfrac{{25{a^2}}}{{18}} + \dfrac{{4{a^2}}}{9}}  = a\sqrt {\dfrac{{11}}{6}} \\ \Rightarrow CG = \sqrt {C{P^2} + G{P^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{3}\\ \Rightarrow \sin \alpha  = \dfrac{{GP}}{{CG}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{6}.\dfrac{3}{{\sqrt {17} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {34} }}\end{array}\)