Phương pháp giải:

+ Tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = mx\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) .

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = f\left( x \right)\) (\(m\) là tham số dương) và đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\)bằng \(I = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Giải phương trình \(I = 1\) tìm m.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = mx\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} = mx \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = mx\) (\(m\) là tham số dương) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) bằng

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^m {\left| {{x^2} - mx} \right|dx} \\ = \int\limits_0^m {\left( {mx - {x^2}} \right)dx} \\ = \frac{{{m^3}}}{6}\\ \Rightarrow \frac{{{m^3}}}{6} = 1 \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{6}\end{array}\)