Phương pháp giải:

Đặt điều kiện, rút gọn biểu thức \(M.\)

Giải phương trình \(M = x - 4\) để tìm \(x.\)

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Xét biểu thức: \(M = \dfrac{{x\sqrt x - 8}}{{3 + {{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\)

ĐKXĐ: \(x \ge 0.\)

Ta có: \(M = \dfrac{{x\sqrt x - 8}}{{3 + {{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l}M = \dfrac{{x\sqrt x - 8}}{{3 + {{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\\M = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - {2^3}}}{{3 + {{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\\M = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}{{3 + x + 2\sqrt x + 1}}\\M = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}{{x + 2\sqrt x + 4}}\\M = \sqrt x - 2\end{array}\)

Khi đó: \(M = x - 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = x - 4 = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {2^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {\sqrt x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2 - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 = 0\\\sqrt x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 2\\x \in \emptyset \,\,\left( {Do\,\,\sqrt x + 1 > 0\,\,\forall x \ge 0} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\) 

Vậy \(x = 4\) thì \(M = x - 4.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đặt điều kiện, rút gọn biểu thức \(N\) rồi tính biểu thức \(Q.\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)

Ta có: \(M = \sqrt x - 2,\,\,\,\,P = \dfrac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}\) 

\(\begin{array}{l}N = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^3} - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^3}}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \right]}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\left( {x + 2\sqrt x + 1 + x - 1 + x - 2\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right)}} = \dfrac{2}{{x - 4}}.\end{array}\) 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Q = M.N + P\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\sqrt x - 2} \right).\dfrac{2}{{x - 4}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\, = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} = 1.\end{array}\)

Vậy \(Q = 1.\)

Chọn C.