Phương pháp giải:

1) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

2) Giải bất phương trình \(P > \dfrac{2}{3}\) để tìm \(x.\)

Đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

1) Rút gọn biểu thức \(P.\)

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{x}{{x + \sqrt x + 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{x}{{x + \sqrt x + 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{x}{{x + \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x\left( {\sqrt x - 1} \right) + x + \sqrt x + 1 - x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x\sqrt x - x + x + \sqrt x - x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x\sqrt x - x + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x\left( {\sqrt x - 1} \right) + \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}.\end{array}\)

Vậy \(P = \dfrac{{x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}.\)  

2) Chứng minh \(P > \dfrac{2}{3}\) với mọi \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}P > \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} > \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \dfrac{2}{3} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x + 3 - 2\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{3\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x + 3 - 2x - 2\sqrt x - 2}}{{3\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{3\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,3\left( {x + \sqrt x + 1} \right) > 0\,\,\forall x\,\,tm\,\,DKXD} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x - 1 \ne 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x \ne 1\\ \Leftrightarrow x \ne 1.\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta thấy \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thỏa mãn bài toán.

Vậy \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thì \(P > \dfrac{2}{3}.\)

Chọn B.