Phương pháp giải:

Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right).\)

Qua \(C\) dựng đường thẳng \(d\) song song với \(BM\) cắt \(AB\) tại \(D.\)

\( \Rightarrow BM//\left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {BM;\,\,SC} \right) = d\left( {BM;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {G;\,\,\left( {SCD} \right)} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right).\)

Qua \(C\) dựng đường thẳng \(d\) song song với \(BM\) cắt \(AB\) tại \(D.\)

\( \Rightarrow BM//\left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {BM;\,\,SC} \right) = d\left( {BM;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {G;\,\,\left( {SCD} \right)} \right)\)

Ta có: \(CD//BM \Rightarrow CD \bot AC.\)

Từ \(G\) kẻ \(GH \bot CD = \left\{ H \right\}\)

\( \Rightarrow MCHG\) là hình chữ nhật. (dhnb)

\( \Rightarrow GH = MC = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SGH} \right),\) kẻ \(GK \bot SH.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot GH\\CD \bot SG\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SGH} \right)\) \( \Rightarrow CD \bot GK\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow GK \bot \left( {SCD} \right)\\ \Rightarrow d\left( {BM,\,\,SC} \right) = d\left( {G;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = GK\end{array}\)

Ta có: \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 3 \) \( \Rightarrow BM = \dfrac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\)

\( \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{2}a = a.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta SBG\) vuông tại \(G\) ta có:

\(SG = \sqrt {S{B^2} - B{G^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 .\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta SGH\) vuông tại \(G\) có đường cao \(GK\) ta có:

\(GK = \dfrac{{SG.GH}}{{\sqrt {S{G^2} + G{H^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}.\)

Chọn A.