Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của hàm số.

- Tính đạo hàm của hàm số.

- Để hàm số đồng biến trên \(\left( {17;37} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\,\,\forall x \in \left( {17;37} \right)\\\sqrt {x - 1} + m \ne 0\,\,\forall x \in \left( {17;37} \right)\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

+ ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {x - 1} + m \ne 0\end{array} \right.\).

+ \(y' = \dfrac{{{m^2} - m - 2}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1} + m} \right)}^2}}}.\left( {\sqrt {x - 1} } \right)' = \dfrac{{{m^2} - m - 2}}{{2\sqrt {x - 1} {{\left( {\sqrt {x - 1} + m} \right)}^2}}}\).

+ Hàm số đồng biến trên \(\left( {17;37} \right)\) \( \Leftrightarrow y' > 0\,\,\forall x \in \left( {17;37} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 > 0\\\sqrt {x - 1} - m \ne 0\,\,\forall x \in \left( {17;37} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 1\end{array} \right.\\ - m \notin \left( {4;6} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l} - m \le 4\\ - m \ge 6\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m \ge - 4\\m \le - 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 6\\ - 4 \le m < 1\\m > 2\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn B.