Phương pháp giải:

- Hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\).

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).

- Khảo sát hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\), lập BBT và tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;5} \right]\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2x - 4m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\\ \Leftrightarrow 2mx + 4m \le {x^2} + 2x\,\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\\ \Leftrightarrow 2m\left( {x + 2} \right) \le {x^2} + 2x\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\\ \Leftrightarrow 2m \le \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right)\end{array}\)

Ta có \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}}=\dfrac{x(x+2)}{x+2}=x\) xác định trên \(\left[ {1;5} \right]\) có \(f'\left( x \right) = 1 > 0\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\) nên hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;5} \right]\), suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow 2m \le 1 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{2}\).

Chọn C.