Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh: \(DA \cap \left( {SBM} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {D;\left( {SBM} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBM} \right)} \right)}} = \dfrac{{DM}}{{AM}}\).

- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AH \bot BM\,\,\left( {H \in BM} \right)\), trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\), chứng minh \(AK \bot \left( {SBM} \right)\).

- Xác định góc giữa \(\left( {SBM} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(DA \cap \left( {SBM} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {D;\left( {SBM} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBM} \right)} \right)}} = \dfrac{{DM}}{{AM}} = 1\).

\( \Rightarrow d\left( {D;\left( {SBM} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBM} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AH \bot BM\,\,\left( {H \in BM} \right)\), trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AH\\BM \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BM \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SH\\AK \bot BM\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBM} \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBM} \right)} \right) = AK = d\left( {D;\left( {SBM} \right)} \right)\end{array}\)

Ta có: \(BM \bot \left( {SAH} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BM \bot SH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBM} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BM\\SH \subset \left( {SBM} \right),\,\,SH \bot BM\\AH \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AH \bot BM\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBM} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SH;AH} \right) = \angle SHA = {45^0}\).

\( \Rightarrow \Delta SAH\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow AK = \dfrac{{SA}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(d\left( {D;\left( {SBM} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn A.