Phương pháp giải:

- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên \(D\):

+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in D\).

+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in D\).

- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm \(m\).

Chú ý: Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:

- Rút \(m\) theo \(x\) sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: \(m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D\) hoặc \(m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D\).

- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số \(y = g\left( x \right)\) trên \(D\).

- Kết luận: Đánh giá \(g(x)\) suy ra giá trị của \(m\).

- Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = {x^2} - 4mx + 4m\).

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 2;0} \right) \Rightarrow y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4mx + 4m \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4m\left( {x - 1} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow 4m\left( {x - 1} \right) \geqslant {x^2} \Leftrightarrow 4m \leqslant \dfrac{{{x^2}}}{{x- 1}}\) (vì \( - 2 < x < 0\))

Xét hàm \(g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}\) trên \(\left( { - 2;0} \right)\) ta có:

\(g'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\x = 2 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\)

Do đó hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 2;0} \right)\)

Suy ra \(g\left( { - 2} \right) < g\left( x \right) < g\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) hay \( - \dfrac{4}{3} < g\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\)

Khi đó \(4m \le g\left( x \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow 4m \le - \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow m \le - \dfrac{1}{3}\)

Vậy \(m \leqslant - \dfrac{1}{3}\).

Chọn B.