Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
Phương pháp giải:
- Tính \(y'\).
- Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \ge g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).
- Vẽ BBT hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(y' = 3{x^2} - 12x + m\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + m \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \ge - 3{x^2} + 12x\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = - 3{x^2} + 12x,\,\,x \in \left( {0; + \infty } \right)\):
\(g'\left( x \right) = - 6x + 12,\,\,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
BBT:
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow m \ge 12\).
Chọn D.