Phương pháp giải:

a) Thay \(x = 16\,\,\,\left( {tmdk} \right)\) vào \(B\) rồi tính toán.

b) Quy đồng và rút gọn các biểu thức.

c) Đưa về giải bất phương trình, kết hợp điều kiện để có kết quả đúng.

Lời giải chi tiết:

1) Tính giá trị biểu thức \(B\) khi \(x = 16.\)

Thay \(x = 16\)(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(B\) ta được:

\(B = \frac{2}{{\sqrt {16} - 2}}\) \( = \frac{2}{{4 - 2}} = \frac{2}{2} = 1\)

Vậy với \(x = 16\) thì \(B = 1.\)

2) Biết \(P = A + B.\) Chứng minh \(P = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\)

Với \(x \ge 0;x \ne 4\) ta có:

\(P = A + B\) \( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{6}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{6}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\) 

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) - 6 + 2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\) \( = \frac{{x - 2\sqrt x - 6 + 2\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\)

Vậy \(P = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 4.\)

3) Tìm \(x\) để \(P > \frac{3}{2}\)

Với \(x \ge 0,x \ne 4\), ta có: \(P > \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} > \frac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x + 4 - 3\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} > 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Mà \(\sqrt x + 1 > 0\) với mọi \(x \ge 0;x \ne 4\)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 1 - \sqrt x > 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt x < 1 \Leftrightarrow x < 1\)

Kết hợp điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\) ta có: \(0 \le x < 1\)

Vậy với \(0 \le x < 1\) thì \(P > \frac{3}{2}.\)

Chọn A.