Phương pháp giải:

- Biến đổi \(\dfrac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \dfrac{{x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} = \dfrac{A}{{x - 1}} + \dfrac{B}{{2x - 1}}\).

- Quy đồng, đồng nhất hệ số tìm \(A,\,\,B\).

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: \(\int {\dfrac{{dx}}{{ax + b}}} = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính giá trị biểu thức \(P\).

Lời giải chi tiết:

Gọi đường thẳng đi qua \(M\) cắt và vuông góc với \(d\) là \(\Delta \).

Gọi\(N = \Delta \cap d \Rightarrow N\left( {4 + 3t;\,\,2 + t;\,\, - 1 + t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {MN} = \left( {4 + 3t;\,\,t;\,\, - 1 + t} \right)\).

Đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 2 + t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;1;1} \right)\).

Vì \(d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {MN} = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left( {4 + 3t} \right) + 1.t + 1\left( { - 1 + t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 12 + 9t + t - 1 + t = 0\\ \Leftrightarrow 11t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow N\left( {1;1; - 2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {MN} = \left( {1; - 1; - 2} \right)\parallel \left( { - 1;1;2} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\dfrac{x}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{2}.\)

Chọn A.