Phương pháp giải:

- \(AB\parallel CD \Rightarrow AB\parallel \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AE \bot CD\) (\(E\) thuộc phần kéo dài của \(CD\)), trong \(\left( {SAE} \right)\) kẻ \(AH \bot SE\,\,\left( {H \in SE} \right)\). Chứng minh \(AH \bot \left( {SCD} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

+ \(AB\parallel CD \Rightarrow AB\parallel \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AE \bot CD\) (\(E\) thuộc phần kéo dài của \(CD\)), trong \(\left( {SAE} \right)\) kẻ \(AH \bot SE\,\,\left( {H \in SE} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AE\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow CD \bot AH\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot CD\\AH \bot SE\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).

+ Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC\), do \(ABCD\) là nửa lục giác đều nên \(\Delta OAD\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow \angle OAD = {60^0} = \angle ADE\) (so le trong).

+ \(\Delta ADE:\,\,AE = AD.\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

+ \(\Delta SAE:\,\,AH = \dfrac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {6{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).