Phương pháp giải:

Trong \(\left( {ABCD} \right),\) kẻ \(AH \bot BD\)

Trong \(\left( {SAH} \right),\) kẻ \(AK \bot SH \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = AK.\)

Lời giải chi tiết:

Trong \(\left( {ABCD} \right),\) kẻ \(AH \bot BD\)

Trong \(\left( {SAH} \right),\) kẻ \(AK \bot SH\)

Ta có: \( \Rightarrow BD \bot AK\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SH\\AK \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = AK.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) và có đường cao \(AH\) ta có:

\(AH = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }}\) \( = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta SAH\) vuông tại \(A\) và có đường cao \(AK\) ta có:

\(AK = \frac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} }}\)\( = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{3}}}{{\frac{{\sqrt {15} }}{3}}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\)

Chọn B.