Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; \(\Delta SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Tính \({d_{\left[ {M;\left( {SCN} \right)} \right]}}\).
- A \({d_{\left[ {M;\left( {SCN} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{8}\).
- B \({d_{\left[ {M;\left( {SCN} \right)} \right]}} = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{8}\).
- C \({d_{\left[ {M;\left( {SCN} \right)} \right]}} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{8}\).
- D \({d_{\left[ {M;\left( {SCN} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
Phương pháp giải:
- Nối DM, chứng minh \(DM \bot CN = E\).
- Kẻ \(MH \bot SE\,\,\left( {H \in SE} \right)\), chứng minh \(MH \bot \left( {SCN} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính MH.
Lời giải chi tiết:
+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SM \subset \left( {SAB} \right),\,\,SM \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\).
Trong (ABCD) gọi \(E = CN \cap DM\).
+ Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta CDN\) có:
\(\begin{array}{l}AD = CD\,\,\left( {gt} \right)\\AM = DN\,\,\left( {gt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta ADM = \Delta CDN\) (hai cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow \angle ADM = \angle DCN\) (hai góc tương ứng).
+ \(\angle ADM + \angle CDM = \angle ADC = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle DCN + \angle CDM = {90^0}\)\( \Rightarrow \Delta CDE\) vuông tại E \( \Rightarrow CN \bot DM\) \( \Rightarrow ME \bot CN\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}CN \bot ME\\CN \bot SM\end{array} \right.\) \( \Rightarrow CN \bot \left( {SME} \right)\).
Trong (SME) kẻ \(MH \bot SE\,\,\left( {H \in SE} \right)\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}MH \bot SE\\MH \bot CN\,\,\left( {CN \bot \left( {SME} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow MH \bot \left( {SCN} \right)\).
\( \Rightarrow {d_{\left[ {M;\left( {SCN} \right)} \right]}} = MH\).
+ \(\Delta ADM:\,\,DM = \sqrt {A{D^2} + A{M^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
\(\Delta CDN:\,\,DE = \dfrac{{CD.DN}}{{\sqrt {C{D^2} + D{N^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).
\( \Rightarrow ME = DM - DE = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} - \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{3a\sqrt 5 }}{{10}}\).
+ \(\Delta ABC\) đều cạnh a \( \Rightarrow SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
+ \(\Delta SME\): \(MH = \dfrac{{SM.ME}}{{\sqrt {S{M^2} + M{E^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{3a\sqrt 5 }}{{10}}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{9{a^2}}}{{20}}} }} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{8}\).
Vậy \({d_{\left[ {M;\left( {SCN} \right)} \right]}} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{8}\).
Câu hỏi trước