Phương pháp giải:

- Để hàm số đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \[m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right) \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {3; + \infty } \right)} f\left( x \right)\].

- Đánh giá hoặc lập BBT để tìm \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {3; + \infty } \right)} f\left( x \right)\].

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^3} - 4mx \ge 0\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le {x^2}\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \min \left( {{x^2}} \right)\,\,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le {3^2} = 9\end{array}\)

Kết hợp điều kiện bài toán ta có m là số nguyên dương \( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;...;9} \right\}\).

Vậy tổng các giá trị của m là \(1 + 2 + 3 + ... + 9 = \dfrac{{9.10}}{2} = 45\).

Chọn B.