Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \tan x\), tìm khoảng giá trị của t ứng với \(x \in \left( {0 ;\dfrac{\pi }{4}} \right)\).

- Viết hàm số theo biến t.

- Tính y’. Tìm điều kiện của m để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \tan x\), với \(x \in \left( {0 ;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)\( \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\).

Khi đó hàm số trở thành \(y = \dfrac{{mt + 1}}{{4t + m}}\).

ĐKXĐ: \(t \ne - \dfrac{m}{4}\).

Ta có: \(y' = \dfrac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {4t + m} \right)}^2}}}\).

Để \(y' > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\dfrac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {4t + m} \right)}^2}}} > 0\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right),\,\,t \ne - \dfrac{m}{4}\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\ - \dfrac{m}{4} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l} - \dfrac{m}{4} \le 0\\ - \dfrac{m}{4} \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Chọn B.