Câu hỏi:
Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt {x - \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} } + \sqrt {x + \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} } }}{{\sqrt {{x^2} - 4\left( {x - 1} \right)} }}.\left( {1 - \frac{1}{{x - 1}}} \right),\)trong đó \(x > 1,x \ne 2\).
Câu 1:
Rút gọn biểu thức \(A\).
- A \(A = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,khi\,\,\,1 < x < 2\\\frac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2\end{array} \right..\)
- B \(A = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,khi\,\,\, x < 2\\\frac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2\end{array} \right..\)
- C \(A = \frac{ - 2}{x - 1}\)
- D \(A = \frac{ - 2}{\sqrt{x - 1}}\)
Phương pháp giải:
Biến đổi các biểu thức trong căn bậc hai, xét từng trường hợp rồi rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 1,\,\,x \ne 2.\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{{\sqrt {x - 4\left( {x - 1} \right)} + \sqrt {x + \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} } }}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}.\left( {1 - \frac{1}{{x - 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} + \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} }}{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }}.\left( {\frac{{x - 2}}{{x - 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }}.\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{\left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right|}}{{\left| {x - 2} \right|}}.\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\end{array}\)
+) Nếu \(1 < x < 2\) thì \(\left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| = 1 - \sqrt {x - 1} \)
\( \Rightarrow A = \frac{{1 - \sqrt {x - 1} + \sqrt {x - 1} + 1}}{{ - \left( {x + 2} \right)}}.\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\)\( = \frac{2}{{2 - x}}.\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{ - 2}}{{x - 1}}\)
+) Nếu \(x > 2\) thì \(\left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| = \sqrt {x - 1} - 1\)
\( \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {x - 1} - 1 + \sqrt {x - 1} + 1}}{{x - 2}}.\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\)\( = \frac{{2\sqrt {x - 1} }}{{x - 2}}.\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\)
Vậy \(A = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,khi\,\,\,1 < x < 2\\\frac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2\end{array} \right..\)
Chọn A.
Câu 2:
Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để giá trị của biểu thức \(A\) là số nguyên.
- A \(x = 1\)
- B \(x = 2\)
- C \(x = 3\)
- D \(x = 5\)
Phương pháp giải:
A là số nguyên khi tử số chia hết cho mẫu số.
Lời giải chi tiết:
TH1: Nếu \(1 < x < 2\) thì \(A = \frac{{ - 2}}{{x - 1}}\).
Để A nhận giá trị nguyên thì \(x - 1\) phải là ước dương của 2 (vì \(x\) nguyên và \(x > 1)\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\\x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3\end{array} \right.\), không thỏa mãn \(1 < x < 2\).
TH2: Nếu \(x > 2\) thì \(A = \frac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\)
Vì \(x\) nguyên, \(x > 2\) nên \(x - 1\) nguyên và \(x - 1 > 1\).
Nếu \(x - 1\) không là số chính phương thì \(A\) là số vô tỉ.
Nếu \(x - 1\) là số chính phương, \(A\) nhận giá tri nguyên nên \(\sqrt {x - 1} \) là ước lớn hơn 1 của 2
\( \Rightarrow \sqrt {x - 1} = 2 \Leftrightarrow x = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy với \(x = 5\) thì \(A\) nhận giá tri nguyên.
Chọn D.
Câu hỏi trước