Phương pháp giải:

Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Áp dụng công thức tính chu vi hình tròn.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\) có tâm là \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và bán kính \(R = 5\).

Gọi r là bán kính của đường tròn có chu vi bằng \(6\pi \Rightarrow 2\pi r = 6\pi \Leftrightarrow r = 3\)

Ta có \({R^2} = {r^2} + d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}^2 \Rightarrow {d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}} = 4\)

Mà \({d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{{\left| {m - 5} \right|}}{3} \Rightarrow \dfrac{{\left| {m - 5} \right|}}{3} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 17\\m = - 7\end{array} \right.\)

Chọn A.