Phương pháp giải:

- Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(I\) thì \(I\)chính là hình chiếu của tâm mặt cầu \(\left( S \right)\)lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Xác định tâm \(A\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).

- Viết phương trình đường thẳng \(AI\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(mp\left( P \right)\).

- Tìm \(I\) là giao điểm của \(AI\) và \(\left( P \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 45\) có tâm là \(A\left( {1;2; - 1} \right).\)

Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(I\) thì \(I\)chính là hình chiếu của tâm mặt cầu \(\left( S \right)\)lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Do đó \(AI\) là đường thẳng đi qua \(A\). và vuông góc với \(mp\left( P \right)\).

Ta có \({\overrightarrow u _{IA}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; - 1} \right)\). Suy ra phương trinh đường thẳng \(AI:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = - 1 - t\end{array} \right.\).

Vì \(I \in AI\) nên gọi \(I\left( {1 + t;2 + t; - 1 - t} \right).\)

Mặt khác \(I \in \left( P \right)\), nên ta có: \(1 + t + 2 + t + 1 + t - 13 = 0 \Leftrightarrow 3t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3.\)

\( \Rightarrow I\left( {4;5; - 4} \right) \Rightarrow a = 4,\,\,b = 5,\,\,c = - 4.\)

Vậy \(a + b + c = 4 + 5 + \left( { - 4} \right) = 5.\)

Chọn A.