Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB,\,\,SC\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), ta có: \(ADCE\) là hình vuông nên \(CE = AD = a = \dfrac{1}{2}AB\), suy ra tam giác \(ACB\) vuông tại \(C\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SC\\AK \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot SB\).

Mà \(SB \bot AH \Rightarrow SB \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SB \bot HK\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \supset AH \bot SB\\\left( {SAB} \right) \supset HK \bot SB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {SH;HK} \right) = \angle SHK\).

Vì \(AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot HK\), suy ra tam giác \(AHK\) vuông tại \(H\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAB\) ta có: \(AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2a.2a}}{{\sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} }} = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ACD\) có: \(AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAC\) ta có: \(AK = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{2a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác vuông \(AHK\) có: \(\sin \angle AHK = \dfrac{{AK}}{{AH}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)

\( \Rightarrow \cos \angle AHK = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\angle AHK} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\tan \angle AHK = \dfrac{{\sin \angle AHK}}{{\cos \angle AHK}} = \sqrt 2 \) hay \(\tan \alpha = \sqrt 2 \).

Chọn A.