Phương pháp giải:

- Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\).

- Thay vào biểu thức, nhân chéo sau đó tìm \(a,\,\,b\).

- Suy ra số phức \(z\) và tính \({\rm{w}} = 1 + z + {z^2}\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{5\left( {\overline z + i} \right)}}{{z + 1}} = 2 - i\\ \Rightarrow \dfrac{{5\left( {a - bi + i} \right)}}{{a + bi + 1}} = 2 - i\\ \Leftrightarrow 5\left[ {a - \left( {b - 1} \right)i} \right] = \left( {a + 1 + bi} \right)\left( {2 - i} \right)\\ \Leftrightarrow 5a - 5\left( {b - 1} \right)i = 2\left( {a + 1} \right) + b + \left( {2b - a - 1} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a = 2a + 2 + b\\5 - 5b = 2b - a - 1\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1\\ \Rightarrow z = 1 + i \Rightarrow {z^2} = 2i\\ \Rightarrow {\rm{w}} = 1 + z + {z^2} = 1 + 1 + i + 2i = 2 + 3i\end{array}\)

Vậy \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} .\)

Chọn C.