Phương pháp giải:

+) Xác định tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\).

+) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với trục \(Oy\) và đi qua tiêu điểm.

+) Giải hệ phương trình để xác định tọa độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( E \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 100\\{b^2} = 36\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 100 - 36 = 64 \Rightarrow c = 8\)

\( \Rightarrow \)Elip \(\left( E \right)\) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( {8;\,\,0} \right),\,\,{F_2}\left( { - 8;\,\,0} \right)\).

Trục \(Oy:\) \(x = 0\)

Vì đường thẳng \(d\) song song với trục \(Oy\) nên phương trình tổng quát của \(d\) có dạng: \(x + c = 0\).

Mà đường thẳng đi qua tiêu điểm \({F_1}\left( {8;\,\,0} \right)\) nên ta có: \(8 + c = 0 \Rightarrow c = - 8\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là: \(x - 8 = 0\)

Tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\left( E \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 8 = 0\\\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8\\\frac{{64}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8\\{y^2} = \frac{{324}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = \frac{{18}}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = - \frac{{18}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\left( E \right)\) là \(\left( {8;\,\,\frac{{18}}{5}} \right),\,\,\left( {8;\,\, - \frac{{18}}{5}} \right)\).

\( \Rightarrow M\left( {8;\,\,\frac{{18}}{5}} \right),\,\,N\left( {8;\,\, - \frac{{18}}{5}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;\,\, - \frac{{36}}{5}} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - \frac{{36}}{5}} \right)}^2}} = \frac{{36}}{5}\)

Vậy \(MN = \frac{{36}}{5} \cdot \)

Chọn B.