Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\), \(\left( {\cos u} \right)' = - u'\sin u\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( {4x - 1} \right)\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 4\cos \left( {4x - 1} \right)\left[ {\cos \left( {4x - 1} \right)} \right]'\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = - 16\cos \left( {4x - 1} \right)\sin \left( {4x - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = - 8\sin \left( {8x - 2} \right)\end{array}\)

Do \( - 1 \le \sin \left( {8x - 2} \right) \le 1\,\,\forall x \Rightarrow - 8 \le - 8\sin \left( {8x - 2} \right) \le 8\,\,\,\forall x\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - 8 \le f'\left( x \right) \le 8\,\,\,\forall x\\ \Rightarrow \left| {f'\left( x \right)} \right| \le 8\,\,\,\forall x\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \sin \left( {8x - 2} \right) = \pm 1 \Leftrightarrow \cos \left( {8x - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 8x - 2 = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4} + \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k\pi }}{8}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).