Phương pháp giải:

+ \(A = AC \cap d\)

+ \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\)

+ \(B = BH \cap BC\)

+ Xác định tọa độ trọng tâm \(G\) theo CT: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

*) Xác định tọa độ đỉnh \(A\)

+) Lập phương trình cạnh \(AC\)

\(\left( {AC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,M\left( {1;\,\,1} \right)\\{{\vec n}_{AC}} = {{\vec u}_{BH}} = \left( {1;\,\, - 1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 1.\left( {x - 1} \right) - 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 1 - y + 1 = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\)

Vì \(A = AC \cap d\) nên tọa độ giao điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\,\left\{ \begin{array}{l}x - 4y - 2 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4y = 2\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2}}{3}\\y = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {\frac{{ - 2}}{3};\,\,\,\frac{{ - 2}}{3}} \right)\)

*) \(A\left( { - \frac{2}{3};\,\, - \frac{2}{3}} \right);\,\,M\left( {1;\,\,1} \right);\,C\left( {{x_C};\,\,{y_C}} \right)\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{ - \frac{2}{3} + {x_C}}}{2}\\1 = \frac{{ - \frac{2}{3} + {y_C}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = - \frac{2}{3} + {x_C}\\2 = - \frac{2}{3} + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{8}{3}\\{y_C} = \frac{8}{3}\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\frac{8}{3};\,\,\frac{8}{3}} \right)\)

*) Lập phương trình cạnh \(BC\)

\(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,C\left( {\frac{8}{3};\,\,\frac{8}{3}} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = {{\vec n}_d} = \left( {1;\,\, - 4} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow 1.\left( {x - \frac{8}{3}} \right) - 4.\left( {y - \frac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{8}{3} - 4y + \frac{{32}}{3} = 0 \Leftrightarrow 3x - 12y + 24 = 0\)

Vì \(B = BH \cap BC\) nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 12y + 24 = 0\\x + y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 12y = - 24\\x + y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 4;\,\,1} \right)\)

*) Xác định tọa độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};\,\,{y_G}} \right)\):

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - \frac{2}{3} + \left( { - 4} \right) + \frac{8}{3}}}{3}\\{y_G} = \frac{{ - \frac{2}{3} + 1 + \frac{8}{3}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = - \frac{2}{3}\\{y_G} = 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( { - \frac{2}{3};\,\,1} \right)\)

Vậy \(G\left( { - \frac{2}{3};\,\,1} \right).\)

Chọn D