Phương pháp giải:

+ Lấy \(E\) là trung điểm của \(AB\).

+ \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BD\).

+ Viết phương trình cạnh \(BC.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BD\)\( \Rightarrow A' \in BC\)

Vì \(B \in \left( {BD} \right):\,\,x + y - 2 = 0 \Rightarrow B\left( {b;\,\,2 - b} \right)\)\( \Rightarrow E\left( {\frac{{b + 1}}{2};\,\, - \frac{{1 + b}}{2}} \right) \in CE\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{b + 1}}{2} + 8.\left( { - \frac{{1 + b}}{2}} \right) - 7 = 0\\ \Leftrightarrow b + 1 - 8 - 8b - 14 = 0\\ \Leftrightarrow - 7b = 21\\ \Leftrightarrow b = - 3\\ \Rightarrow B\left( { - 3;\,\,5} \right).\end{array}\)

Phương trình đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\left( {1; - 3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_{BD}}} = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT là:

\(AA':\,\,\,x - 1 - \left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 4 = 0\)

Khi đó tọa độ điểm \(I = BD \cap AA'\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 4 = 0\\x + y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3; - 1} \right).\)

Vì \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BD \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AA'\) \( \Rightarrow A'\left( {5;\,\,1} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(BC\) qua \(A'\left( {5;\,\,1} \right)\) và \(B\left( { - 3;\,\,5} \right)\) là:

\(BC:\,\,\,\,\frac{{x + 3}}{{5 + 3}} = \frac{{y - 5}}{{1 - 5}} = 0\)\( \Leftrightarrow - 4\left( {x + 3} \right) = 8\left( {y - 5} \right)\)\( \Leftrightarrow x + 2y - 7 = 0\)

Ta có: \(C = CE \cap BC \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 7 = 0\\x + 8y - 7 = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {7;\,\,0} \right)\)

Chọn A.